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#1 23-11-2014 23:50:53
- Legendre
- Membre
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Fonction Zeta
Salut, je suis tombé sur cet exercice mais j'ai beau réfléchir je ne vois pas comment faire...
Montrer que la suite [tex]u_{n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{1+i}}[/tex] est bornée (i désigne le nombre complexe tel que [tex]i^2=-1[/tex])
Une petite indication? Merci!
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#2 24-11-2014 08:03:29
- Fred
- Administrateur
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Re : Fonction Zeta
Salut,
Moi, je procèderai par comparaison à une intégrale, en introduisant [tex]I_n=\int_1^n \frac{dt}{t^{1+i}}[/tex]
qui est bornée. Il te reste à voir que la différence est bornée. Pour cela, écris :
[tex]u_n-I_n=\sum_{k=1}^{n-1} \int_n^{n+1}\left(\frac 1{k^{1+i}}-\frac1{t^{1+i}}\right)dt[/tex]
et majore ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale.
Fred.
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#5 25-11-2014 23:04:45
- Legendre
- Membre
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- Messages : 72
Re : Fonction Zeta
D'accord, alors si je raconte pas trop de bêtise :
[tex] |u_{n}-I_{n}|=| \sum_{k=1}^n \int_{k}^{k+1}\, \frac{1}{k^{i+1}}-\frac{1}{t^{i+1}}\,dt| [/tex], en remplacer les bornes de [tex]I_{n}[/tex] par [tex][1;n+1][/tex], ce qui ne change pas le caractère bornée
Alors [tex] |u_{n}-I_{n}| \le \sum_{k=1}^n \int_{k}^{k+1}\, |\frac{1}{k^{i+1}}-\frac{1}{t^{i+1}}|\,dt \le \sum_{k=1}^n \int_{k}^{k+1}\, (t-k)dt = \frac{n}{2} [/tex]
qui n'est hélas pas bornée...
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#6 25-11-2014 23:36:05
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 048
Re : Fonction Zeta
On peut faire beaucoup mieux que ta majoration dans l'intégrale. As-tu appliqué l'inégalité des accroissements finis à la fonction
[tex]f(x)=\frac{1}{x^{1+i}}[/tex] entre k et t??? Je ne vois nulle part apparaitre sa dérivée dans ton calcul???
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