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Julie01

Invité

équation différentielle

Bonjour,

ça fait un moment que je bloque sur un des exercices de mon DM merci d'avance pour votre aide
On cherche à résoudre sur R∗+ l’équation différentielle :
x²y"−3xy'+4y = 0. (E)
1) Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ?
2) Analyse. Soit y une solution de (E) sur R∗+. Pour t ∈ R, on pose :
                                                                                         z(t) = y(e^t).
a) Calculer pour t ∈ R, z'(t) et z"(t).
b) En déduire que z vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients  constants que l’on précisera (on pourra poser x = e^t dans (E)).
c) Résoudre l’équation différentielle trouvée au b).
d) En déduire le ”portrait robot” de y.
3) Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien toutes solutions de (E) et conclure
Je bloque à la question 2)a
Merci

totomm

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Re : équation différentielle

Bonjour,

Le 2a) est une aide pour passer par une équa diff à coefficients constants.
il suffit d'écrire en dérivant y fonction de [tex]e^t[/tex] par rapport à t :
[tex]y=z[/tex]
[tex]z'=y' e^t\ d'où\ y'=z'e^{-t}[/tex]
[tex]z"=y'e^t+y"e^{2t}\ d'où \ y"=(z"-z')e^{-2t}[/tex]
poser [tex]x=e^t[/tex] et se rappeler que y, y' et y" satisfont (E)

Bonne suite...

Julie01

Invité

Re : équation différentielle

Merci beaucoup pour votre aide, j'avais trouvé la 2)a et la 2)b maintenant je bloque sur la 2)c sachant que pour la 2)b j'ai trouvé
z"(t)-4z'(t)+4z(t)=0
Merci encore

totomm

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Re : équation différentielle

reBonjour,

on cherche alors des solutions de la forme [tex]e^{\lambda t }\ avec\ \lambda^2-4\lambda+4=0[/tex]
bonne suite

totomm

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Re : équation différentielle

Bonjour,

Je cache la fin du problème pour le cas où Julie01 voudrait trouver seule...

▼cliquer pour la solution terminée

racine double [tex]\lambda=2[/tex] (discriminant nul) donc [tex]z=e^{2t}(k1+k2\ t)[/tex]
ayant posé [tex]x=e^t\ et\ z=y(e^t)[/tex] il vient : [tex]y=x^2(k1+k2.Ln(x))[/tex]

julie01

Invité

Re : équation différentielle

Merci pour le temps que vous m'accordez, est ce que vous pouvez m'expliquer comment vous avez trouvé ça puisque moi je trouve pas la même chose
Merci

totomm

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Re : équation différentielle

Bonsoir,

J'ai suivi la méthode correspondant aux équations différentielles du second ordre à coefficients constants
Vous pouvez trouver la marche à suivre dans un cours ou sur wikipedia qui me sert souvent d'aide-mémoire.

Partant de z"(t)-4z'(t)+4z(t)=0 on forme [tex]λ^2−4λ+4=0[/tex] dont le discriminant est nul et qui correspond à (λ-2)²=0
et à la solution en t puis en x donnée (cachée) au post #6.

J'ai soigneusement vérifié que cette solution correspondait bien à (E) du post #1 en dérivant par rapport à x

Peut-être votre solution est sous une autre forme que la mienne alors qu'elles sont équivalentes ?

julie01

Invité

Re : équation différentielle

Merci beaucoup
C'est bon je trouve pareil que vous j'avais fait une petite erreur
pour les questions 2)d et 3 je comprends pas que ce qu'ils demandent
merci

totomm

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Re : équation différentielle

Bonsoir,

Je comprends que 2)d demande de donner la solution en y à partir de la solution en z
Et que 3) demande de vérifier que toutes les solutions avec les 2 constantes conviennent. Autrement dit il est demandé de dériver pour recomposer l'équation en y" , y' et y et vérifier que les constantes sont bien éliminées.

julie01

Invité

Re : équation différentielle

Merci beaucoup pour tout votre aide
pour la 2)d c'est fait
pour la 3) je vais m'y mettre
Merci