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#1 28-10-2014 11:07:17

nosta
Membre
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Équation partie entière

Bonjour

J'ai essayé de résoudre cette équation à parties entières.

Montrer que : [tex] \forall n \in\mathbb{Z}: E(\frac{n+1}{2})+E(\frac{-n}{2}) = 0 [/tex]

ma solution:

j'ai raisonné en termes de parité de n:

cas 1: n pair il existe un entier k: n=2k

en remplaçant dans l'équation on obtient: [tex]  E(\frac{2k+1}{2})+E(\frac{-2k}{2}) = 0 [/tex]

[tex]E(\frac{2k+1}{2})+E(-k) = 0 [/tex] ; [tex]E(\frac{2k+1}{2})-k = 0 [/tex] d'où [tex]E(\frac{2k+1}{2})= k [/tex]

soit l'inégalité : [tex]k\leq\frac{2k+1}{2}\leq k+1[/tex] d'où [tex]0\leq 1\leq 2[/tex], inégalité toujours vraie pour tout n entier pair

Cas 2: n impair, n=2k+1
je procéde de la même manière et j'aboutis à l'inégalité : [tex]0\leq\frac{1}{2}\leq 1[/tex], là aussi inégalité vraie pour tout n entier impair

donc dans tous les cas on conclue que l'équation est vraie pour tout entier relatif

merci pour l'aide


cordialement

Dernière modification par nosta (28-10-2014 11:07:58)

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#2 28-10-2014 14:06:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Équation partie entière

Bonjour,

  Juste deux remarques :
* d'abord une remarque de terminologie. Ce n'est pas une équation, car tu ne dois pas trouver les n tels que... C'est une égalité à prouver.
* ensuite, l'inégalité [tex]k\leq \frac{2k+1}2\leq k+1[/tex] ne garantit pas que la partie entière de [tex]\frac{2k+1}2[/tex] est égale à k. Il faut avoir l'inégalité large à gauche :
[tex]k\leq\frac{2k+1}2<k+1 [/tex]
et ceci reste vrai.

Fred.

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#3 28-10-2014 14:12:25

totomm
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Re : Équation partie entière

Bonjour, j'ai posté en même temps que Fred (bien plus compétent ...)
comme je n'ai pas tout vérifié, j'ai supprimé et je reviendrai...

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#4 28-10-2014 14:35:49

totomm
Membre
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Re : Équation partie entière

Bonjour, vérifications faites :

Je suis un peu circonspect concernant la validité du raisonnement présenté par nosta, principalement parce qu'il ne faut pas poser ce que l'on veut démontrer…
Aussi parce que les inéquations doivent être utilisées de façon précise dans la définition de la partie entière.

[tex]\forall n \in\mathbb{Z}[/tex]
Si n=2k, il faut trouver [tex]e \in \mathbb{Z}[/tex] tel que [tex]e\leq k+\frac{1}{2} < e+1[/tex], e est alors la partie entière (par défaut) de [tex]\frac{n+1}{2}[/tex]
Prenant e=k, on vérifie que [tex]-e \leq -k<-e+1[/tex] donc on a bien [tex]E(\frac{n+1}{2})+E(\frac{-n}{2}) = e-e=0[/tex]

Si n=2k+1, il faut trouver [tex]e \in \mathbb{Z}[/tex] tel que [tex]e\leq k+1 < e+1[/tex], e est alors la partie entière (par défaut) de [tex]\frac{n+1}{2}[/tex]
Prenant e=k+1, on vérifie que [tex]-k-1 \leq -k-\frac{1}{2}<-k[/tex] soit [tex]-e\leq \frac{-n}{2} < -e+1[/tex]
donc on a bien encore [tex]E(\frac{n+1}{2})+E(\frac{-n}{2}) = e-e=0[/tex]

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#5 28-10-2014 15:04:34

nosta
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Re : Équation partie entière

Merci pour vos réponses

effectivement c'est une proposition à demontrer qu'elle est vraie et non une simple équation

de même on a : [tex]E (x)\leq x\lt E (x)+1[/tex]

Pour Totomn, nos deux démonstrations se rejoignent, non?


Cdt

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#6 29-10-2014 00:14:52

freddy
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Re : Équation partie entière

Salut,

je pense qu'il y a plus simple et plus rapide du fait que n est un entier relatif, et non un réel.
Je reprends le point de départ.

Supposons n positif pair. Donc il existe k entier positif tq [tex]n=2k[/tex]
On a alors : [tex]E\left(\frac{2k+1}{2}\right)+E\left(\frac{-2k}{2}\right)=E\left(k+\frac{1}{2}\right)+E\left(-k\right)=k-k=0[/tex]

Supposons n positif impair. Donc il existe k entier positif tq [tex]n=2k+1[/tex]
On a alors : [tex]E\left(\frac{2k+2}{2}\right)+E\left(\frac{-2k-1}{2}\right)=E\left(k+1\right)+E\left(-k-\frac12\right)=k+1-(k+1)=0[/tex]

Supposons n négatif pair. Donc il existe k entier positif tq [tex]n=-2k[/tex]
On a alors : [tex]E\left(\frac{-2k+1}{2}\right)+E\left(\frac{2k}{2}\right)=E\left(-k+\frac{1}{2}\right)+E\left(k\right)=-k+k=0[/tex]

Supposons enfin n négatif impair. Donc il existe k entier positif tq [tex]n=-2k-1[/tex]
On a alors : [tex]E\left(\frac{-2k}{2}\right)+E\left(\frac{2k+1}{2}\right)=E\left(-k\right)+E\left(k+\frac12\right)=-k+k=0[/tex]


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 29-10-2014 11:05:52

totomm
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Re : Équation partie entière

Bonjour,

@freddy : Dans votre présentation vous ne reprenez pas la définition de la partie entière (qui pour les informaticiens est le "Floor" si on considère la partie entière par défaut)
Et justement, c'est la compréhension exacte des inégalités dans cette définition qui faisait défaut dans la présentation de nosta.
Et de par la définition, il n'est pas besoin de considérer séparément nombres positifs ou négatifs.

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#8 29-10-2014 23:25:12

freddy
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Messages : 7 457

Re : Équation partie entière

totomm a écrit :

Bonjour,

@freddy : Dans votre présentation vous ne reprenez pas la définition de la partie entière (qui pour les informaticiens est le "Floor" si on considère la partie entière par défaut)
Et justement, c'est la compréhension exacte des inégalités dans cette définition qui faisait défaut dans la présentation de nosta.
Et de par la définition, il n'est pas besoin de considérer séparément nombres positifs ou négatifs.

Entièrement d'accord. Je l'ai faite "à la débutante" :-)
Un lien utile : partie entière, illustration de l'intervention de Fred (d'ailleurs, c'est le même qui écrit !).

Dernière modification par freddy (30-10-2014 05:55:41)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#9 01-11-2014 10:17:34

nosta
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Inscription : 13-10-2014
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Re : Équation partie entière

bonjour

merci encore pour vos réponses

mais aucune des interventions ne m'a spécifié si ce que j'ai fait est correct ou pas (sauf pour les 2 obs de @freddy que j'ai admis)


cordialement

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#10 01-11-2014 10:28:48

totomm
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Re : Équation partie entière

Bonjour,

Fred vous a alerté au post #2 alors que je rédigeais dans le même sens

totomm au post #4 a écrit :

Je suis un peu circonspect concernant la validité du raisonnement présenté par nosta, principalement parce qu'il ne faut pas poser ce que l'on veut démontrer…
Aussi parce que les inéquations doivent être utilisées de façon précise dans la définition de la partie entière.

Plus crument votre démonstration (raisonnement) n'en est pas une et vous n'avez pas vu la portée exacte des inégalités.
à+ si nécessaire

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#11 01-11-2014 14:09:32

nosta
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Re : Équation partie entière

Bonjour,

désolé, peut être je suis dur à comprendre, mais si tu m'expliques au moins ce qui cloche dans mon "raisonnement" et notamment au niveau
de l'inégalité en question

cdt

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#12 01-11-2014 15:44:44

totomm
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Messages : 1 093

Re : Équation partie entière

Bonjour,
je vais essayer d'expliquer en reprenant le post #1

nosta a écrit :

cas 1: n pair il existe un entier k: n=2k ...
soit l'inégalité : [tex]k\leq\frac{2k+1}{2}\leq k+1[/tex] d'où [tex]0\leq 1\leq 2[/tex], inégalité toujours vraie pour tout n entier pair

Comment passez-vous, pour [tex]k \in \mathbb(Z)[/tex] du premier groupe [tex]k\leq\frac{2k+1}{2}\leq k+1[/tex] au deuxième [tex]0\leq 1\leq 2[/tex] ??

nosta a écrit :

Cas 2: n impair, n=2k+1
je procéde de la même manière et j'aboutis à l'inégalité : [tex]0≤\frac{1}{2}≤1[/tex]

En procédant de la même manière vous auriez :[tex]k\leq\frac{2k+2}{2}\leq k+1[/tex]  soit : [tex]k\leq\frac{k+1}{1}\leq k+1[/tex] : C'est ce que vous voulez dire ???

Comment trouvez-vous la partie entière E(-2,5) = ...??

La seule définition précise qu'il faut utiliser est : La partie entière d'un nombre réel x est l'unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que[tex]n\leq x<n+1[/tex]

cordialement. à+ si nécessaire

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#13 01-11-2014 18:08:02

nosta
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Re : Équation partie entière

je commence par la dernière remarque, j'ai admis m'être trompé dans la formulation de l'inégalité ( j'ai mis large des 2 cotés!)

et on a bien en appliquant la définition de la partie entière: [tex]E(x)\leq x\lt E(x)+1[/tex]

en introduisant l'entier k (cas pair), et d'après la résolution de l'équation en 1ère phase : [tex]E(\frac{2k+1}{2})= k[/tex] (1)on a :

[tex]E(\frac{2k+1}{2})\leq \frac{2k+1}{2}\lt E(\frac{2k+1}{2})+1[/tex]

d'où : [tex]k\leq \frac{2k+1}{2}\lt k+1[/tex] ou encore [tex]2k\leq \ 2k+1\lt 2k+2[/tex] et on peut même s’arrêter ici en remarquant que cette inégalité est vraie pour tout entier relatif sinon on peut aussi aboutir à (en décalant 2k au centre) : [tex]0\leq \ 1\lt 2[/tex]

et conclure pour le cas x pair que la proposition en question est vraie (idem pour x impair)


ps: on peut egalement resoudre l'equation (1) en utilisant la propriété [tex]E(x+n)=E(x)+n[/tex] d'où :[tex]E(\frac{2k+1}{2})= k[/tex]


[tex]k + E(0,5)= k[/tex] et donc [tex]k+ 0= k[/tex] ainsi k = k
cdt

Dernière modification par nosta (02-11-2014 14:54:30)

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