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chacha21256

Invité

fonction f(x) = e^(-cos(x))

bonjour tout le monde !!

j'ai fait un exercice en math et j'aimerais juste savoir si ce que j'ai fait est bon ou pas ;)

voici l'énoncé :

on considère la fonction f définie sur R par : f(x) = e^(-cos(x))

1) démontrer que cette fonction est paire et périodique de période 2pi.

2) calculer f'(x) et déterminer son signe sur l'intervalle [0 ; pi]. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; pi].

3) tracer la courbe représentative C de f sur l'intervalle [-pi ; pi].

4) déterminer l'équation réduite de la tangente à C au point d'abscisse pi/2

voici ce que j'ai fait :

1) pour démontrer que cette fonction est paire, il faut que f(x) = f(-x) :

f(1) = e^(-cos(1)) = 0.58

f(-1) = e^(-cos(-1)) = 0.58

donc cette fonction est paire

pour démontrer que cette fonction est périodique de période 2pi, il faut que f(x) = f(x + 2pi) :

f(1) = 0.58 , d'après les calculs précédents

f(1+2pi) = e^(-cos(1+2pi)) = 0.58

donc cette fonction est périodique

2) f(x) = e^(-cos(x)) donc f'(x) = sin(x) x e^(-cos(x))

sur l'intervalle[0 ; pi] , f'(x) est positive graphiquement mais je ne sais pas comment le prouver algébriquement , pouvez vous me donner une piste ? :)

pour le tableau :

x     : 0              pi
f'(x) :        +
f(x)  :   croissante

3) sur [-pi ; 0[ ,f est décroissante et sur ]0 ; pi] ,f est croissante

4) on sait que l'équation de la tangente est : y = f'(a) (x-a) + f(a) :

y = f'(pi/2) (x-pi/2) + f(pi/2)

f'(pi/2) = sin(pi/2) x e^(-cos(pi/2))

           = 1 x 1 = 1

f(pi/2) = e^(-cox(pi/2)) = 1

Donc, y = 1 (x-pi/2) + 1

            = x - (pi/2) +1

l'équation réduite de la tangente à C au point d'abscisse pi/2 est y = x - (pi/2) +1

voila, si vous pouviez m'aider pour la deuxième partie de la question 2 ( prouver algébriquement que f'(x) est positive sur l'intervalle[0 ; pi] ) et juste me dire si le reste est bon ou pas :)

merci d'avance !! :p

totomm

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Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

Bonjour,

tout semble correct y compris la tangente calculée. Un conseil : Geogebra est un bon logiciel (gratuit) facile à utiliser, en particulier aux fins de vérification
en 1) il faut vérifier pour tout x, pas simplement pour x=1
en 2) f '(x) est le produit de 2 facteurs positifs dans l'intervalle considéré...

chacha21256

Invité

Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

coucou,

merci beaucoup pour ta correction :D

pour le 1), il suffit de dire :

f(x) = e^(-cos(x))

f(-x) = e^(-cos(-x))

donc pour tous x, cette fonction est paire

et que

f(x) = e^(-cos(x))

f(x + 2pi) = e^(-cos(x+2pi))

donc pour tous x, cette fonction est périodique de période 2pi

il suffit de dire ca, pour prouver que c'est pour tous x ?

pour le 2), si je met :

f '(x) est le produit de 2 facteurs positifs dans l'intervalle considéré, donc f'(x) est croissante sur l'intervalle [0 ; pi]

c'est suffisant, ou il faut rajouter une démonstration ?

:)

mad83

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Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

Dans le premier, rédige de sorte à montrer que tu as compris que la fonction cosinus est paire, ce qui implique que (...), histoire d'éviter le "tour de magie".
Dans la seconde question, f'(x) est positive, pas croissante, c'est donc f qui est croissante sur l'intervalle. De la même manière, essaye de trouver une rédaction qui montre que tu as bien compris.

Dernière modification par mad83 (26-10-2014 04:27:35)

chacha21256

Invité

Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

oki merci !! :)

mad83

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Messages : 39

Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

Ah, j'ajoute que dans la question 1, pour la période c'est pareil que pour la parité. Ça semble logique mais tu dois vérifier pour tout x. Dis-toi qu'en général, en maths, quand tu dois prouver que quelque chose est vrai, il faut le faire pour tous les cas possibles. Quand tu prouves que c'est vrai dans un cas de figure, rien ne dit que ce sera toujours vrai. Regarde, si on te demande de montrer que cosinus est toujours positif. Tu vas dire que cos(1)=0,58 donc c'est vrai. Mais c'est totalement faux. Essaye de t'habituer à raisonner ainsi. Et, en revanche, pour prouver que quelque chose est faux, il te suffit de trouver un seul contre exemple, cela infirme une propriété générale. Pour dire que cos n'est pas positif tout le temps, il te suffit de dire que cos(pi)=-1.

Médite là-dessus, mais c'est une facette importante du raisonnement dont il est question, enfin à mon sens.

chacha21256

Invité

Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

oki merci beaucoup pour tes conseils c'est noté !! :)

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Invité

Re : fonction f(x) = e^(-cos(x))

Coucou, je suis en TS et ai un dm avec cet exercice, aurais tu eu la correction stp?