Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pipo

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boule carrée

Bonjour tout le monde,
on fait actuellement de la topologie, on a commencé par les espaces vectoriels normés. j'ai 2 petites question je n'arrive auquelles je n'arrive pas à repondre:
1/ comment on a obtenu la boule carrée avec la norme infinie.Parce qu'en fait je ne comprend pas
est ce que la norme infinie appliqué au couple (x,y) c'est le sup entre x et y (on prend le plus grand des deux )
ou bien est ce que c'est le sup des x  ET le sup des y ?
2/[0,1[ n'est ni ouvert ni fermé , pouvez vous me donnez un exemple d'une partie ouverte et fermée .
merci d'avance

Dernière modification par pipo (24-10-2014 00:37:53)

Choukos

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Re : boule carrée

Salut,
Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex], on a [tex] \Vert (x,y) \Vert_{\infty} = \text{max}(|x|,|y|) [/tex]. Tu cherches l'ensemble des points  (x,y) de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] de norme infinie égale à 1. Pour que cette norme soit égale à 1, il faut que l'une des composantes (x ou y) soit égale à 1 en valeur absolue et l'autre coordonnée est alors quelconque dans [-1,1]. Prends par exemple [tex]x=-1[/tex], pour que cette norme soit égale à 1, y peut être n'importe quoi entre -1 et 1, d'où le côté gauche du carré ! Répète ce raisonnement pour tous les cas possibles et tu traces bien le carré recherché.

Pour ta seconde question, tu peux considérer [tex]\mathbb{R}[/tex] tout entier.
Petite remarque en passant : j'ai peur de t'embrouiller aussi je te conseille juste de prendre la bonne habitude de preciser l'espace ambiant contenant ton fermé ou ouvert. Par exemple ici dis plutôt, [0,1[ n'est ni un ouvert ni un fermé de [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ma remarque devrait faire plus de sens plus tard dans ton cours, mais en attendant essaye de prendre cette habitude :).

Dernière modification par Choukos (24-10-2014 02:33:58)

pipo

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Re : boule carrée

Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair maintenant !