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thematheux_09

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Calculs d'angles

Bonjour,

Etant en M1 maths cette année, passant donc le CAPES en fin d'année, j'ai un sujet d'oral 2 à faire pour cette semaine mais je bloque voici l'énoncé:

Dans un triangle ABC rectangle en A, on considère:
A' le milieu de [BC]
H le projeté orthogonal de A sur (BC)
I le projeté orhogonal de H sur (AB)
J le projeté orthogonal de H sur (AC)
Il s'agit de calculer l'angle (IJ,AA')
Indication: (IJ,AA')=(IJ,IA)+(IA,AJ)+(AJ,AA')

Je pense que l'angle (IJ,AA')=(-pi/2) donc j'aimerais le démontrer. Or je sais que (IA,AJ)=(-pi/2) donc je veux en fait montrer que (IJ,IA)+(AJ,AA')=0 (car (IJ,AA')=(IJ,IA)+(IA,AJ)+(AJ,AA'))
Comme (IJ,IA) et (AJ,AA') ne sont pas dans le même sens, je veux prouver que (IJ,IA)=(AJ,AA').
Et pour cela je voulais montrer que AJI est une réduction de ABC, cela conserverait les angles, et donc (IJ,IA) serait égale à (CB,CA), AA'C étant isocèle ça serait terminé.

Je me trompe où il y a une autre méthode plus simple ?
Merci de votre réponse.

totomm

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Re : Calculs d'angles

Bonjour,

AIHJ est rectangle. les angles IJA et IJH sont complémentaires. Or l'angle IJH égale IAH qui égale l'angle ACA' qui égale  l'angle A'AC.

yoshi

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Re : Calculs d'angles

Bonjour,

Pour commencer :  bienvenue chez nous thematheux_09

Ensuite, l'énoncé étant donné avec des angles orientés (c'est bien ça ?), pour un oral de CAPES, il me semble de bon ton de donner une solution les utilisant (1ere S)..
Dans ce type d'exercices, si sa présentation doit être niveau collège : c'est précisé expressément.
J'en sais quelque chose, je suis passé par là.
Leçon à préparer sur les équa diff.
Et un exo portant sur un alignement de points niveau 3e, assorti d'une autre question : comment le modifieriez-vous pour qu'il soit faisable en 5e ?...
Bref, revenons à nos moutons...
Ma proposition (longue mais détaillée...) :
Je place les points A, B, C tels que [tex](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=+\frac{\pi}{2}[/tex].
Donc, on nous dit de partir de :
[tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AA'})=(\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{AJ})+(\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AA'})[/tex]
[tex](\overrightarrow{IA},\overrightarrow{AJ})=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC})=(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+\pi=\frac{3\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}[/tex]
Donc :
[tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AA'})=(\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AA'})-\frac{\pi}{2}[/tex]
[AA'] est la médiane relative à l'ypoténuse donc le triangle AA'C est isocèle...
[tex](\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AA'})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})[/tex]
Par construction IAJH est un rectangle. Ses diagonales ont même longueur, même milieu et déterminent 4 triangles isocèles.
J'ai donc :
[tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IA})=(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH})[/tex]
Mais le triangle ABH est rectangle en H :
[tex](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HB})+(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{AH})=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BH})+(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HA})+\pi=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BH})-\frac{\pi}{2}+\pi=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BH})+\frac{\pi}{2}[/tex]
Il vient :
[tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AA'})=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BH})+\frac{\pi}{2}+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}-\frac{\pi}{2}=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BH})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=-\frac{\pi}{2}[/tex]

Et comme dirait freddy, sauf erreur...

@+

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totomm

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Re : Calculs d'angles

Bonsoir,

A l'évidence, j'aurais mieux fait de ne rien écrire, je n'avais pas vu que le problème était une présentation d'angles orientés.
Heureusement yoshi l'a fait de façon impeccable.

Personnellement, quand il faut passer de la solution d'égalités simples à une solution angles orientés, je trace le cercle de diamètre [AH] et sur ce cercle le point projection de H sur (AA').
J'oriente alors le cercle et je suis certain de ne pas me tromper car il n'y a plus qu'à tourner de [tex]\vec{IJ}[/tex] vers [tex]\vec{AA'}[/tex]…Mais ce ne doit pas être dans les canons académiques…!
Tant pis pour les foudres de yoshi et pour la deuxième couche éventuelle de freddy….:-))

Dernière modification par totomm (14-10-2014 19:00:14)

yoshi

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Re : Calculs d'angles

RE,

A l'évidence, j'aurais mieux fait de ne rien écrire, je n'avais pas vu que le problème était une présentation d'angles orientés.

Ma foi, ce n'était pas d'une évidence folle sans la présence visible de vecteurs !
J'ai hésité et puis :
(IJ,AA')=(IJ,IA)+(IA,AJ)+(AJ,AA') -->  Relation de Chasles
+ confirmation n° 1 : (IA,AJ)=(-pi/2)... -pi/2 : un angle négatif en dehors de la trigo, ou des angles orientés, je ne vois pas !
+ confirmation n° 1 : Oral de CAPES et on parle de projeté orthogonal : les projections en Collège, il y a longtemps que c'est fini...

Ce qui remet sur le devant de la scène, mon "obsession" pour le respect des notations ; si thematheux_09 avait écrit :
Il s'agit de calculer l'angle [tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AA'})[/tex]  : il n'y aurait pas eu de souci même avec une lecture rapide...

Mais ce ne doit pas être dans les canons académiques…!

Non, et ça n'a aucune importance tant que ça ne figure pas dans une copie : l'important est de faire sa propre cuisine pour s'en sortir : on peut même prendre le risque d'expliquer le "truc" à qui ne comprend pas, si ça peut lui permettre de passer outre la difficulté et d'avancer...
Le risque étant de le retrouver dans une copie, d'où "sanction" et incompréhension (voire sentiment d'injustice) de l'auteur...

Personnellement, quand il faut passer de la solution d'égalités simples à une solution angles orientés, je trace le cercle de diamètre [AH] et sur ce cercle le point projection de H sur (AA').

Personnellement je fais autrement pour ma gouverne personnelle.
Prenons l'angle [tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AA'})[/tex] : je construis M tel que [tex]\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{AA'}[/tex] et j'évalue l'angle [tex](\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IM})[/tex] et je vois que je tourne  dans le sens négatif...
Ce n'est pas d'une très grande orthodoxie non plus...

Tant pis pour les foudres de yoshi et pour la deuxième couche éventuelle de freddy….:-))

Allons, allons ! Vous ne l'avez pas fait sciemment, vous avez lu un peu vite et vous avez raté les vecteurs -absents !-, ce qui tombait fatalement à plat ! D'autant plus pour un oral de CAPES...

Ceci n'est pas une critique pour thematheux_09, je pense au contraire que cela sera intéressant pour lui, puisque dans son futur métier, il sera fatalement amené à demander le respect des notations... ^_^ !!!

@+

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yoshi

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Re : Calculs d'angles

Bonjour,

Je suis quand même un peu surpris de l'absence de réponse de thematheux_09, d'autant qu'il entre dans ses intentions d'être prof...
Wait and see !

@+

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