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Ninako

Invité

Produit scalaire

Bonjour,

dans mon exercice, on considère [tex]E=\mathbb{R}_2[X] [/tex]on veut démontrer que l'application [tex] \phi[/tex] de E² dans [tex]\mathbb{R}[/tex] définie par :

[tex]\forall (P,Q)\in E^2, \phi(P,Q)= P(0)Q(0) + P'(0)Q'(0) + P''(0)Q''(0)  [/tex]

est un produit scalaire sur E.

Je sais qu'on peut utiliser la représentation matricielle d'une application pour prouver que c'est un produit scalaire, mais ici, je ne sais pas comment la déterminer.

Merci d'avance!

Choukos

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Re : Produit scalaire

Bonjour,
Je ne pense pas que tu aies vraiment besoin de passer par des matrices pour prouver ça, tu peux plus simplement vérifier la définition (montre que [tex]\phi[/tex] est une forme bilinéaire symétrique définie positive), [tex]\phi[/tex] est clairement bilinéaire symétrique et positive, tu dois par contre  t'attarder sur le fait qu'elle est définie,
i.e. Montre que [tex]\phi (x,x) = 0 \Rightarrow x=0[/tex].

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 17:46:19)

Ninako

Invité

Re : Produit scalaire

Pour montrer qu'elle est symétrique on écrit que si on inverse P et Q, c'est égal à la même application c'est ça?
Est-ce que vous pouvez détailler pour positive s'il vous plait? :)

Merci!

Ninako

Invité

Re : Produit scalaire

ah non c'est bon pour positive j'ai mal lu ma définition ^^"

Ninako

Invité

Re : Produit scalaire

Voilà mon idée pour définie:

je pars de P(0)=0:

P(0)=0
<=>P²=0
<=>P'²=0
<=>P"²=0

Tout cela équivaut à: P² + P'² + P"²=0

Et comme j'ai raisonné par équivalence...?

Choukos

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Re : Produit scalaire

Re,
C'est bien ça pour la symétrie, si par "inverse" tu entends bien "échanger" P et Q ([tex]\phi (P,Q) = \phi (Q, P)[/tex]) !

Tu as raison qu'ici on devrait porter autant d'attention à montrer que [tex]\phi[/tex] est positive qu'elle est définie. Si [tex]P[/tex] est un élément quelconque de [tex]\mathbb{R}_2[X][/tex], il existe [tex]a_0, a_1, a_2[/tex] des réels tels que [tex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/tex], ça doit être simple de conclure maintenant, non ? (Vérifie méthodiquement les définitions).

EDIT : Je viens de voir ton post précédent, attention ce n'est pas parce que [tex](P(0))^2 = 0[/tex] qu'on a [tex] (P'(0))^2 = 0[/tex] ! Considère le polynôme [tex] P(x)=x [/tex] on a bien [tex](P(0))^2 = 0[/tex] mais [tex]P'(0)=1[/tex] donc [tex] (P'(0))^2 = 1 \neq 0[/tex]

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 18:13:44)

Ninako

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Re : Produit scalaire

je n'ai pas compris votre indication.. :?

pour montrer que c'est une phi est positive, j'ai fait:
P(0)² + P'(0)² + P"(0)² [tex]\geqslant[/tex] 0..

(et pour ce que j'ai écrit au dessus pour montrer qu'elle est définie, dans les équations c'est P'(0) et non P' tout seul désolé..)

Choukos

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Re : Produit scalaire

Oui pour la positivité, mais je ne suis pas convaincu par la preuve que tu donnes pour montrer que [tex]\phi[/tex] est définie ! (j'ai dis pourquoi dans l'EDIT juste au dessus).

Montrons que [tex]\phi[/tex] est positive. Soit [tex]P[/tex] un élément quelconque de [tex]\mathbb{R}_2[X][/tex], il existe [tex]a_0, a_1, a_2[/tex] des réels tels que [tex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/tex]. Alors [tex]\phi (P,P) = a_0^2 + a_1^2 +a_2 ^2[/tex]. Donc [tex]\phi(P,P) \geq 0[/tex]. Ou ta preuve en une ligne me va aussi... :).

Montrons que [tex]\phi[/tex] est définie. Soit [tex]P[/tex] un élément de [tex]\mathbb{R}_2[X][/tex] vérifiant [tex]\phi (P,P) = 0[/tex].  Il existe [tex]a_0, a_1, a_2[/tex] des réels tels que [tex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/tex]. Donc [tex]\phi (P,P) = a_0^2 + a_1^2 +a_2 ^2=0[/tex]. Donc [tex]a_0= 0, \, a_1 = 0, \, a_2 = 0[/tex]. Donc [tex]P=0[/tex].

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 18:28:43)

Ninako

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Re : Produit scalaire

Merci beaucoup.. en fait je crois que je n'ai pas très bien compris la notion d'application (le fait que les x "disparaissent" dans [tex]\phi(P,P)= a_0^2+a_1^2+a_2^2[/tex]..) 

Et pourquoi on considère P(x) et pas P(0) ?

Choukos

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Re : Produit scalaire

Je suis peut être allé un peu vite, [tex]P[/tex] est un polynôme, défini pour tout x réel par [tex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/tex]. Comme tu le dis, on s'intéresse à P(0), P'(0) et P''(0). Bon ben on calcul les dérivées qu'on évalue ensuite en 0 :
[tex]P(0) = a_0 + a_1 * 0 + a_2 * 0^2 = a_0[/tex]
[tex]P'(0) = a_1 + 2 a_2 * 0=a_1[/tex]
[tex]P''(0)=2 a_2[/tex]
Donc [tex]P(0)^2 + (P'(0))^2 + (P''(0))^2 = a_0 ^2 + a_1 ^2 + 4a_2 ^2[/tex]
Et on s'apperçoit que je t'ai dis une petite bêtise en voulant aller trop vite !!

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 18:56:13)

Ninako

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Re : Produit scalaire

Ah bah oui c'est vrai ^^"

Merci! :D