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#1 21-09-2014 17:21:43

mona
Membre
Inscription : 21-09-2014
Messages : 3

problem in topologie 2

give an example of two  disjoint closed sets F1 and F2 in Rn which d(F1,F2)=0 (with redaction please)

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#2 21-09-2014 21:16:12

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : problem in topologie 2

Hello,

one question : what distance between two sets can you use ? (Euclidian, Hausdorff, ...)

@yoshi : tu peux corriger mon anglais si besoin, je ne t'en voudrais pas !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 22-09-2014 01:55:24

MOHAMED_AIT_LH
Invité

Re : problem in topologie 2

Hello
In [tex]{\mathbb R}^2[/tex], for example, take : [tex]F_1=\left\{\left(x,\frac{1}{x^2+1} \right) / x \in {\mathbb R} \right\}[/tex]  and  [tex]F_2=\{(x,0) / x \in {\mathbb R} \}[/tex]

#4 22-09-2014 07:43:06

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : problem in topologie 2

Bonjour Mohamed,

quelle distance retiens-tu pour pouvoir écrire que [tex]d(F_1,F_2)=0[/tex] et définir la notion de fermé ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 22-09-2014 13:54:46

mona123
Invité

Re : problem in topologie 2

hello mohammed thank you for your help.but i need an example in Rn

#6 22-09-2014 15:02:52

MOHAMED_AIT_LH
Invité

Re : problem in topologie 2

freddy a écrit :

Bonjour Mohamed,

quelle distance retiens-tu pour pouvoir écrire que [tex]d(F_1,F_2)=0[/tex] et définir la notion de fermé ?

Bonjour Freddy: c'est la distance usuelle et tu'avais déjà demandé ça et tu avais raison, mais, généralement quand on parle de [tex]{\mathbb R}^n[/tex] sans metionner la topologie utilisée, on comprends qu'il s'agit de la topologie naturelle qui provien du produit scalaire usuel. C'est tout à fait comme quand on parle du groupe [tex]\mathbb Z[/tex] des entiers relatifs, la loi est sous-entendue (l'addition), etc.
Bonne fin de journée!

#7 22-09-2014 15:17:20

MOHAMED_AIT_LH
Invité

Re : problem in topologie 2

mona123 a écrit :

hello mohammed thank you for your help.but i need an example in Rn



In [tex]{\mathbb R}^n[/tex], when[tex] n \geq 3[/tex] , we can take : [tex]F_1=\left\{\left(x,\frac{1}{x^2+1} ,0, \cdots,0\right) / x \in {\mathbb R} \right\}[/tex]  and  [tex]F_2=\{(x,0,0,\cdots,0) / x \in {\mathbb R} \}[/tex]

If you want an example for [tex]n=1[/tex], take : [tex]F_1={\mathbb N}[/tex]   and  [tex]F_2=\left\{ n+\frac 1{n+2} / n \in {\mathbb N} \right\}[/tex]

#8 22-09-2014 17:14:51

freddy
Membre chevronné
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Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : problem in topologie 2

Salut Mohamed,

je crains que la distance entre les deux ensembles décrit ne soit pas nulle !
Mais tu peux me montrer que je me trompe :-)
@+


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#9 22-09-2014 20:01:22

MOHAMED_AIT_LH
Invité

Re : problem in topologie 2

Salut Freddy et merci pour le feedback!
Pour le cas  [tex]n  \geq  3[/tex]:
Pour tout entier naturel [tex]n[/tex], posons:   [tex]X_n=(n,\frac{1}{n^2+1},0,\cdots,0)[/tex]   et  [tex] Y_n= (n,0,0,\cdots,0)[/tex]   alors  [tex]X_n \in F_1[/tex]  et  [tex]Y_n  \in F_2[/tex]  et  [tex]X_n-Y_n = (0,\frac{1}{n^2+1},0,\cdots,0)[/tex]  de   sorte  que   [tex]\|X_n-Y_n\|=\frac{1}{n^2+1}[/tex]   tends  vesr  [tex]0[/tex]  quand  [tex]n[/tex]   tends  vers  [tex]+\infty.[/tex]
( On utilise un résultat utile: Si [tex]A[/tex]  est  une partie non vide minorée de  [tex]\mathbb R[/tex]  et [tex] m[/tex]  un minorant de A tel qu'il existe une suite [tex](a_n)[/tex]  d'éléments de [tex]A[/tex] qui converge  vers [tex]m[/tex]  alors [tex] m[/tex]  est  la  borne inférieure  de [tex]A[/tex]. Ici  [tex]A =\{\|X-Y\| / (X,Y) \in F_1 \times F_2\}[/tex])

Pour le cas de [tex]n=1[/tex]
[tex]x_n=n  \in F_1[/tex]   et  [tex] y_n =n + \frac{1}{n+2}  \in F_2[/tex]  alors  [tex] d(x_n,y_n)= \frac{1}{n+2}[/tex]  tends  vers   [tex]0[/tex]  quand  [tex]n[/tex]  tends  vers  [tex]+\infty[/tex].  et le même  principe  pour  la  justification  du fait que  la borne inférieure de [tex]A[/tex]  est [tex]0.[/tex]

#10 22-09-2014 22:25:55

freddy
Membre chevronné
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Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : problem in topologie 2

Eh ben voilà, tu vois, ce n'était pas si compliqué :-)

Bon, surtout pas inutile pour notre ami(e?) anglophone qui a l'air de bien patauger !

thank's a lot !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#11 23-09-2014 19:28:57

mona123
Invité

Re : problem in topologie 2

thanks a lot for you example Mohammed

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