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#1 21-09-2014 17:21:43
- mona
- Membre
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problem in topologie 2
give an example of two disjoint closed sets F1 and F2 in Rn which d(F1,F2)=0 (with redaction please)
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#2 21-09-2014 21:16:12
- freddy
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Re : problem in topologie 2
Hello,
one question : what distance between two sets can you use ? (Euclidian, Hausdorff, ...)
@yoshi : tu peux corriger mon anglais si besoin, je ne t'en voudrais pas !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#3 22-09-2014 01:55:24
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : problem in topologie 2
Hello
In [tex]{\mathbb R}^2[/tex], for example, take : [tex]F_1=\left\{\left(x,\frac{1}{x^2+1} \right) / x \in {\mathbb R} \right\}[/tex] and [tex]F_2=\{(x,0) / x \in {\mathbb R} \}[/tex]
#4 22-09-2014 07:43:06
- freddy
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Re : problem in topologie 2
Bonjour Mohamed,
quelle distance retiens-tu pour pouvoir écrire que [tex]d(F_1,F_2)=0[/tex] et définir la notion de fermé ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#5 22-09-2014 13:54:46
- mona123
- Invité
Re : problem in topologie 2
hello mohammed thank you for your help.but i need an example in Rn
#6 22-09-2014 15:02:52
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : problem in topologie 2
Bonjour Mohamed,
quelle distance retiens-tu pour pouvoir écrire que [tex]d(F_1,F_2)=0[/tex] et définir la notion de fermé ?
Bonjour Freddy: c'est la distance usuelle et tu'avais déjà demandé ça et tu avais raison, mais, généralement quand on parle de [tex]{\mathbb R}^n[/tex] sans metionner la topologie utilisée, on comprends qu'il s'agit de la topologie naturelle qui provien du produit scalaire usuel. C'est tout à fait comme quand on parle du groupe [tex]\mathbb Z[/tex] des entiers relatifs, la loi est sous-entendue (l'addition), etc.
Bonne fin de journée!
#7 22-09-2014 15:17:20
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : problem in topologie 2
hello mohammed thank you for your help.but i need an example in Rn
In [tex]{\mathbb R}^n[/tex], when[tex] n \geq 3[/tex] , we can take : [tex]F_1=\left\{\left(x,\frac{1}{x^2+1} ,0, \cdots,0\right) / x \in {\mathbb R} \right\}[/tex] and [tex]F_2=\{(x,0,0,\cdots,0) / x \in {\mathbb R} \}[/tex]
If you want an example for [tex]n=1[/tex], take : [tex]F_1={\mathbb N}[/tex] and [tex]F_2=\left\{ n+\frac 1{n+2} / n \in {\mathbb N} \right\}[/tex]
#8 22-09-2014 17:14:51
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : problem in topologie 2
Salut Mohamed,
je crains que la distance entre les deux ensembles décrit ne soit pas nulle !
Mais tu peux me montrer que je me trompe :-)
@+
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#9 22-09-2014 20:01:22
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : problem in topologie 2
Salut Freddy et merci pour le feedback!
Pour le cas [tex]n \geq 3[/tex]:
Pour tout entier naturel [tex]n[/tex], posons: [tex]X_n=(n,\frac{1}{n^2+1},0,\cdots,0)[/tex] et [tex] Y_n= (n,0,0,\cdots,0)[/tex] alors [tex]X_n \in F_1[/tex] et [tex]Y_n \in F_2[/tex] et [tex]X_n-Y_n = (0,\frac{1}{n^2+1},0,\cdots,0)[/tex] de sorte que [tex]\|X_n-Y_n\|=\frac{1}{n^2+1}[/tex] tends vesr [tex]0[/tex] quand [tex]n[/tex] tends vers [tex]+\infty.[/tex]
( On utilise un résultat utile: Si [tex]A[/tex] est une partie non vide minorée de [tex]\mathbb R[/tex] et [tex] m[/tex] un minorant de A tel qu'il existe une suite [tex](a_n)[/tex] d'éléments de [tex]A[/tex] qui converge vers [tex]m[/tex] alors [tex] m[/tex] est la borne inférieure de [tex]A[/tex]. Ici [tex]A =\{\|X-Y\| / (X,Y) \in F_1 \times F_2\}[/tex])
Pour le cas de [tex]n=1[/tex]
[tex]x_n=n \in F_1[/tex] et [tex] y_n =n + \frac{1}{n+2} \in F_2[/tex] alors [tex] d(x_n,y_n)= \frac{1}{n+2}[/tex] tends vers [tex]0[/tex] quand [tex]n[/tex] tends vers [tex]+\infty[/tex]. et le même principe pour la justification du fait que la borne inférieure de [tex]A[/tex] est [tex]0.[/tex]
#10 22-09-2014 22:25:55
- freddy
- Membre chevronné
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Re : problem in topologie 2
Eh ben voilà, tu vois, ce n'était pas si compliqué :-)
Bon, surtout pas inutile pour notre ami(e?) anglophone qui a l'air de bien patauger !
thank's a lot !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#11 23-09-2014 19:28:57
- mona123
- Invité
Re : problem in topologie 2
thanks a lot for you example Mohammed
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