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#1 21-09-2014 16:06:17

padre
Invité

Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

bonjour ,
je cherche les solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z avec p premier superieur ou egal à 3 et a>=2 .
voilà le resultat que j'ai obtenu :
x^2-1=0 ssi (x-1)(x+1)=0
x peut alors s'écrire sous 2 formes
x1=1+k*(p^l) avec l>=a et k un entier relatif
ou x2=-1+y*(p^d) avec d>=a et y un entier relatif .
qu'en pensez vous ?
merci d'avance .

#2 21-09-2014 19:52:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

Salut,

  Je ne suis pas d'accord, car Z/(p^a)Z n'est pas intègre : ce n'est pas parce que le produit de deux facteurs est nul qu'un des deux facteurs est nul. Par exemple, si a=2, x=p et y=p, alors xy=0 sans que x ou y soit égal à 0.
Tu devrais plutôt regarder à quelle(s) condition(s) sur x et y un tel produit est nul.

Fred.

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#3 21-09-2014 20:03:24

padre
Invité

Re : Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

Finalement j'ai regardé la solution mais je ne l'ai pas comprise :
ok Z/nZ n'est pas integre.
voila la correction : "
1 et −1 sont deux solutions distinctes. D’autre part, si m est un entier naturel dont la
classe dans Z/nZ, notée x, est une solution, alors p^α|(m − 1)(m + 1), et donc m s’écrit
m = 1 + kp^u, m = −1 + lp^v  "
m s'ecrit de 2 manieres differentes ? alors que c'est le meme nombre je ne comprend pas du tout ce passage pouvez vous m'eclairer svp .
merci d'avance.

#4 21-09-2014 21:05:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

J'imagine que la correction ne s'arrête pas là....
Oui, c'est le même nombre, et il s'écrit de deux façons différentes. Maintenant, il faut avoir des conditions sur k,l u et v pour que ce soit possible. Je pense donc que dans ta solution, on écrit :
[tex]1+kp^u=-1+lp^v[/tex] puis...

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#5 21-09-2014 21:13:04

padre
Invité

Re : Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

je ne comprend pas pourquoi m devrait etre egale aux resultats de la correction (voila la correction complete http://www.bibmath.net/exercices/bde/arithm/znzcor.pdf ) pourquoi u+v>a et non pas u>a ET v>a
merci de me repondre

#6 22-09-2014 08:42:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

Je reprends la correction. De [tex]1+kp^u=-1+lp^v[/tex], on tire [tex]2=lp^v-kp^u[/tex]

Si u>0 ET v>0, alors p divise le membre de gauche, il divise aussi le membre de droite ce qui n'est pas vrai puisque p est supposé impair.

Donc u=0 OU v=0.
Si u=0, on a [tex](m-1)(m+1)=klp^v[/tex] avec [tex]p^a | klp^v[/tex] et [tex]p[/tex] premier avec [tex]k,l[/tex].
C'est donc que [tex]v\geq a[/tex]

Si v=0, par symétrie, on a [tex]u\geq a[/tex].

Fred.

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#7 23-09-2014 16:55:05

padré
Invité

Re : Solutions de x^2=1 dans Z/(p^a)Z

merci Fred je comprends mieux a present

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