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tibo

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produit de corde

Salut,

Petite curiosité géométrique que j'ai aimée et que je partage avec vous :

Soit n un entier naturel (>2). Considérons le polygone régulier à n coté inscrit dans un cercle de rayon 1.
Choisissez un sommet et tracez les cordes le reliant à tous les autres sommets.
Le produit des longueurs de ces (n-1) cordes est exactement égal à n!

Voilà, reste à le démontrer, ce qui me pose encore quelques difficultés...

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A quoi sert une hyperbole?
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tibo

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Re : produit de corde

Pour fixer les notations, je note O le centre du cercle, je numérote les sommets de [tex]S_0[/tex] à [tex]S_{n-1}[/tex] avec [tex]S_0[/tex] le sommet choisi Et enfin pour [tex]k\in[[1;n-1]][/tex], je note [tex]\alpha_k[/tex] l'angle [tex]\widehat{S_0OS_k}[/tex] et [tex]a_k[/tex] le longueur du segment [tex]S_0S_k[/tex].

▼un début

J'ai obtenu que [tex]a_k=2\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)[/tex]
Il faut donc montrer que [tex]\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=n[/tex], ce que Wolfram m'a confirmé.

Dernière modification par yoshi (18-09-2014 09:32:29)

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Roro

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Re : produit de corde

Bonjour Tibo,

Je suis assez d'accord avec toi sur le "début" (même si les formules en latex n'apparaissent pas compilées). Je crois que la fin est un exercice "classique" lié avec les racines de l'unité et le polynôme 1+X+...+X^n.

Roro.

yoshi

Modo Ferox

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Re : produit de corde

Re,

même si les formules en latex n'apparaissent pas compilées

Merci pour lui...
Corrigé !

@+

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tibo

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Re : produit de corde

Re,

Merci pour les formules TeX

▼une suite...

Grâce aux formules d'Euler, puis en factorisant par [tex]e^{\frac{ik\pi}{n}}[/tex] j'obtiens le produit :
[tex]\prod_{k=1}^{n-1}-ie^{\frac{ik\pi}{n}}\left(1-e^{-\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]
Ensuite le résultat est un réel, donc égal à son module, et comme le module d'un produit est égal au produit des modules on obtient après réarrangement les indices :
[tex]\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]
ce qui me fait penser aux polynômes cyclotomiques...

Dernière modification par tibo (18-09-2014 13:52:29)

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amatheur²

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Re : produit de corde

salut
vous pouvez utilisé l'identité: [tex]\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}[/tex]

tibo

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Re : produit de corde

Re,

Ha bah du coup c'est immédiat là!
Je ne la connaissais pas celle là. Elle est connu? se démontre facilement?

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amatheur²

Invité

Re : produit de corde

salut
je l'avais rencontré sur un problème traitant le polynômes de tchebychev; mais je n'arrive pas à le retrouver :(

amatheur²

Invité

Re : produit de corde

salut
je viens de me rappeler comment on l'avait prouvé! c'est simple au fait, il suffit de remarque que pour tout complexe  [tex]x[/tex] on a [tex]\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]=[tex]x^{n}-1[/tex]=[tex](x−1)\displaystyle\sum^{n−1}_{k=0}x^k[/tex]
@

amatheur²

Invité

Re : produit de corde

re
l'indice du premier produit varie de k=0! désolé!