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Pipopo

Invité

Dimension de R comme Q-espace vectoriel

Bonjour tout le monde,
Pourriez vous m expliquer cette notion svp:
Aujourd'hui mon professeur a dit que R est de dimension infinie comme Q-Ev et que C est de dimension 2dans un R-Ev .mais je n ai pas vie. Compris ce que ça voulais dire.
Merci de me répondre

freddy

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Re : Dimension de R comme Q-espace vectoriel

Salut,

c'est une bonne façon de vérifier ta compréhension des espaces vectoriels et de leur dimension = nombre de vecteurs libres générateurs de l'espace vectoriel.

Je vais aller un peu plus loin et te dire que le corps [tex]\mathbb{C}[/tex] est un  [tex]\mathbb{C}[/tex]-espace vectoriel de dimension 1.

Vois-tu pourquoi ?

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Pipop

Invité

Re : Dimension de R comme Q-espace vectoriel

Salut,

c'est une bonne façon de vérifier ta compréhension des espaces vectoriels et de leur dimension = nombre de vecteurs libres générateurs de l'espace vectoriel.

Je vais aller un peu plus loin et te dire que le corps [tex]\mathbb{C}[/tex] est un  [tex]\mathbb{C}[/tex]-espace vectoriel de dimension 1.

Vois-tu pourquoi ?

Parce que pour <décrire >(est ce le mot exact?) un élément de C à travers un autre éléments de C nous avons besoin d un seul élément de C .Si ma réponse est juste alors je crois avoir compris mais je trouve que c est un peu parachuté surtout pour Q comment le justifier ?
Merci

Fred

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Re : Dimension de R comme Q-espace vectoriel

Salut,

  C'est effectivement un peu plus difficile de démontrer que R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
Une façon de le prouver est de trouver une famille libre comportant un nombre infini d'éléments. En voici une. Si on note [tex](p_i)_{i\geq 1}[/tex] la suite des nombres premiers et [tex]x_i=\ln (p_i)[/tex], alors la famille [tex](x_i)[/tex] est libre dans [tex]\mathbb R[/tex] vu comme Q-espace vectoriel. Si ce n'était pas le cas, il existerait un entier n et des rationnels [tex]a_1,\dots,a_n[/tex] non tous nuls tels que
[tex]a_1\ln(p_1)+\dots+a_n\ln(p_n)=0[/tex]
Quitte à tous les mettre au même dénominateur et à simplifier par le dénominateur commun, on peut supposer que tous les [tex]a_i[/tex] sont des entiers. En utilisant les propriétés du logarithme, cette égalité se ramène à
[tex]\ln(p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n})=0\iff p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}=1.[/tex]
Mais ceci contredit l'unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers.

Joli, non???

Fred.

pipop

Invité

Re : Dimension de R comme Q-espace vectoriel

Salut,

  C'est effectivement un peu plus difficile de démontrer que R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
Une façon de le prouver est de trouver une famille libre comportant un nombre infini d'éléments. En voici une. Si on note [tex](p_i)_{i\geq 1}[/tex] la suite des nombres premiers et [tex]x_i=\ln (p_i)[/tex], alors la famille [tex](x_i)[/tex] est libre dans [tex]\mathbb R[/tex] vu comme Q-espace vectoriel. Si ce n'était pas le cas, il existerait un entier n et des rationnels [tex]a_1,\dots,a_n[/tex] non tous nuls tels que
[tex]a_1\ln(p_1)+\dots+a_n\ln(p_n)=0[/tex]
Quitte à tous les mettre au même dénominateur et à simplifier par le dénominateur commun, on peut supposer que tous les [tex]a_i[/tex] sont des entiers. En utilisant les propriétés du logarithme, cette égalité se ramène à
[tex]\ln(p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n})=0\iff p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}=1.[/tex]
Mais ceci contredit l'unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers.

Joli, non???

Fred.

*applaudissements* Tres jolie demonstration bravo et surtout merci !