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#1 15-09-2014 20:12:27
- sam9997
- Invité
Problème avec les dérivations
Bonjour,
j'ai un commencé exo mais je ne voit pas comment le résoudre:
Soient (C1) et (C2) les courbent représentant respectivement, dans un repère orthonormé (O;i(vecteur);j(vecteur)), les fonctions f et g définies sur R par:
f(x)=x³-2x+3 et g(x)=2x²-3x+3
1. Montrer que, dans R, l'équation f(x)=g(x) est équivalente à l'équation x(x-1)²=0
2.en déduire les coordonnées des points communs à (C1) et (C2)
3. Déterminer les équations des tangentes à (C1) et (C2) en chacun de leurs points communs.
Pour la 1. j'ai fait: f(x)=g(x) <=> x³-2x+3=2x²-3x+3
<=> x³-2x+3-2x²+3x-3=0
<=>x(x-1)²
Mais pour la 2 je ne me rappel plus comment on trouve les points d'intersection . J'ai essayer avec f(x)=g(x) mais le problème c'est que je n'arrive pas à résoudre x³-2x²+x pour avoir x
#2 15-09-2014 20:29:43
- Fred
- Administrateur
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Re : Problème avec les dérivations
Bonjour,
Tu es bien parti. Un point commun à C1 et C2 est un point d'abscisse x où les ordonnées f(x) et g(x) sont égales.
D'après la question 1, tu as f(x)=g(x) <=> x(x-1)^2=0.
Cette équation, tu dois savoir la résoudre. N'oublie pas qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si un des deux facteurs est nul....
Fred.
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#3 15-09-2014 20:38:52
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
si je répond ça à la 2 :
comme f(x)=g(x)=x(x-1)² alors les points d'intersections des deux droites sont x=0 et x=1
?
#4 15-09-2014 20:48:45
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : Problème avec les dérivations
'lut !
pourquoi des droites ?
points d'abscisse x=0 et x=1, l'ordonnée est donnée par y=f(0)= ... et y=f(1)=...
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#5 15-09-2014 21:02:22
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
euh courbe désoler.
et pour la 3 je peux utiliser juste g(x)?
et donc faire y=g(0)+g'(0)(x-0) et donc y=-3-3(x-0) pour abscisse 0
et y=g(1)+g'(1)(x-1) et donc y=1+1(x-1)
#6 15-09-2014 21:07:23
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Problème avec les dérivations
Non, tu ne peux pas te limiter simplement à g.
Rien ne te dit que les tangentes aux deux courbes sont identiques. Donc tu dois chercher les tangentes à C1 et à C2 aux deux points d'intersection, soit 4 calculs à faire.
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#7 15-09-2014 21:15:39
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
Ah donc sa donnerait :
Pour f
y=f(0)+f'(0)(x-0)donc y=-2-2(x-0)
et f(1)+f'(1)(x-1) donc y=1+1(x-1)
Pour g
et donc faire y=g(0)+g'(0)(x-0) et donc y=-3-3(x-0) pour abscisse 0
et y=g(1)+g'(1)(x-1) et donc y=1+1(x-1)
?
#8 15-09-2014 21:22:30
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Problème avec les dérivations
Je n'ai pas vérifié les calculs, mais en tout cas, ce sont les formules à appliquer!
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#9 15-09-2014 21:48:43
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Problème avec les dérivations
RE,
J'ai aussi vérifié en traçant les courbes...
[tex]f(x)=x^3-2x+3[/tex] d'où [tex]f'(x)=3x^2-2[/tex]
et
[tex]f(0)=3 ,\;f'(0)=-2[/tex] équation tangente à [tex]C_f[/tex] : [tex]y = -2x+3[/tex]
[tex]f(1)=2 ,\;f'(1)=1[/tex] équation tangente à [tex]C_f[/tex] : [tex]y = x+1[/tex]
[tex]g(x)=2x^2-3x+3[/tex] d'où [tex]g'(x)=4x-3[/tex]
et
[tex]g(0)=3 ,\;g'(0)=-3[/tex]
Il y a 3 tangentes et non 4 : même point (1 ; 2), même coefficient directeur...
En outre, [tex](x-1)^2=0[/tex] fournit une solution double. Hasard ?
Sur ce, je m'en vais me jeter dans les bras de Morphée...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#10 15-09-2014 21:54:44
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
le tableau de varriation de f serai donc :
comme 3x²>0 f(1)=2
donc
x |-oo 2 +oo
-----|-------------------
f'(x)|+ 0 -
-----|---------------------
f(x) | ^ 1 \
|-oo / v +oo
?
#11 15-09-2014 21:57:01
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Problème avec les dérivations
Euh... si j'en crois la dérivée de Yoshi, f'(2) n'est pas égal à 0. As-tu dessiné la courbe sur ta calculatrice???
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#12 15-09-2014 22:01:04
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
Ma calculette ne veut pas faire les courbes
x |-oo -2 +oo
-----|-------------------
f'(x)|+ 0 -
-----|---------------------
f(x) | ^ 1 \
|-oo / v +oo
se serai mieu?
#13 15-09-2014 22:18:53
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
ou plutôt pour g
x |-oo -2 +oo
-----|-------------------
f'(x)|+ 0 -
-----|---------------------
f(x) | ^ 3 \
|-oo / v +oo
et g
x |-oo -3 +oo
-----|-------------------
g'(x)|+ 0 -
-----|---------------------
g(x)| ^ 3 \
|-oo / v +oo
#14 15-09-2014 22:23:21
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Problème avec les dérivations
Bon,
bin, chuis encore pas couché après ça, j'y vais...
Ta calculette trace pas les courbes ? T'es resté à un modèle Collège ? Sinon lequel est-ce ?
Télécharge un logiciel simple qui est aussi un grapheur :
http://www.bibmath.net/geolabo/tele/index.php3
Pour le reste : non !
[tex]f'(x)=3x^2-2= (x\sqrt 3 - \sqrt 2)(x\sqrt 3+\sqrt 2)[/tex] (factorisation d'une différence de 2 carrés)
Les 2 valeurs qui annulent la dérivée sont donc :
[tex]x_1=-\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=-\frac{\sqrt 6}{3}[/tex] et [tex]x_2=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac{\sqrt 6}{3}[/tex]
La dérivée est donc positive à l'extérieur de [tex][x_1\;;\;x_2][/tex] négative à l'intérieur...
Donc f croissante, décroissante, croissante.
La valeur qui annule est [tex]x = \frac 3 4[/tex]
Comme le coeff de x² dans g(x) est >0, ta fonction est décroissante, admet un minimum en [tex]x =\frac 3 4[/tex] puis croissante...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#15 15-09-2014 22:50:41
- sam9997
- Invité
Re : Problème avec les dérivations
D'accord merci beaucoup !
(non je n'ai pas de calculette collège mais certaine fonctionnalité ne marche plus)
@+
#16 16-09-2014 11:52:59
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Problème avec les dérivations
Salut,
La valeur qui annule est [tex]x = \frac 3 4[/tex]
Comme le coeff de x² dans g(x) est >0, ta fonction est décroissante, admet un minimum en [tex]x =\frac 3 4[/tex] puis croissante...
On peut aussi dire ça comme suit.
La dérivée est [tex]g'(x)=4x-3[/tex].
La valeur qui annule cette dérivée est [tex]x = \frac 3 4[/tex]
[tex]4x-3 <0[/tex] pour [tex]x <\frac 3 4[/tex]
[tex]4x-3 >0[/tex] pour [tex]x >\frac 3 4[/tex]
La fonction g est décroît donc de [tex]+\infty[/tex] à [tex]\frac{15}{8}[/tex] puis croît de [tex]\frac{15}{8}[/tex] à [tex]+\infty[/tex].
Le sommet de la parabole (courbe représentative de g) est le point de coordonnées [tex]\left (\frac 3 4\;;\;\frac{15}{8}\right)[/tex] : c'est un minimum.
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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