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#1 15-09-2014 20:12:27

sam9997
Invité

Problème avec les dérivations

Bonjour,
j'ai un commencé exo mais je ne voit pas comment le résoudre:

Soient (C1) et (C2) les courbent représentant respectivement, dans un repère orthonormé (O;i(vecteur);j(vecteur)), les fonctions f et g définies sur R par:
f(x)=x³-2x+3 et g(x)=2x²-3x+3

1. Montrer que, dans R, l'équation f(x)=g(x) est équivalente à l'équation x(x-1)²=0
2.en déduire les coordonnées des points communs à (C1) et (C2)
3. Déterminer les équations des tangentes à (C1) et (C2) en chacun de leurs points communs.

Pour la 1. j'ai fait: f(x)=g(x) <=> x³-2x+3=2x²-3x+3
<=> x³-2x+3-2x²+3x-3=0
<=>x(x-1)²
Mais pour la 2 je ne me rappel plus comment on trouve les points d'intersection . J'ai essayer avec f(x)=g(x) mais le problème c'est que je n'arrive pas à résoudre x³-2x²+x pour avoir x

#2 15-09-2014 20:29:43

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Problème avec les dérivations

Bonjour,

  Tu es bien parti. Un point commun à C1 et C2 est un point d'abscisse x où les ordonnées f(x) et g(x) sont égales.
D'après la question 1, tu as f(x)=g(x) <=> x(x-1)^2=0.
Cette équation, tu dois savoir la résoudre. N'oublie pas qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si un des deux facteurs est nul....

Fred.

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#3 15-09-2014 20:38:52

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

si je répond ça à la 2 :
comme f(x)=g(x)=x(x-1)² alors les points d'intersections des deux droites sont x=0 et x=1
?

#4 15-09-2014 20:48:45

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Problème avec les dérivations

'lut !

pourquoi des droites ?
points d'abscisse x=0 et x=1, l'ordonnée est donnée par y=f(0)= ... et y=f(1)=...


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 15-09-2014 21:02:22

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

euh courbe désoler.

et pour la 3 je peux utiliser juste g(x)?
et donc faire y=g(0)+g'(0)(x-0) et donc y=-3-3(x-0) pour abscisse 0
et y=g(1)+g'(1)(x-1) et donc y=1+1(x-1)

#6 15-09-2014 21:07:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Problème avec les dérivations

Non, tu ne peux pas te limiter simplement à g.
Rien ne te dit que les tangentes aux deux courbes sont identiques. Donc tu dois chercher les tangentes à C1 et à C2 aux deux points d'intersection, soit 4 calculs à faire.

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#7 15-09-2014 21:15:39

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

Ah donc sa donnerait :
Pour f
y=f(0)+f'(0)(x-0)donc y=-2-2(x-0)
et f(1)+f'(1)(x-1) donc y=1+1(x-1)
Pour g
et donc faire y=g(0)+g'(0)(x-0) et donc y=-3-3(x-0) pour abscisse 0
et y=g(1)+g'(1)(x-1) et donc y=1+1(x-1)
?

#8 15-09-2014 21:22:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Problème avec les dérivations

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais en tout cas, ce sont les formules à appliquer!

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#9 15-09-2014 21:48:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Problème avec les dérivations

RE,

J'ai aussi vérifié en traçant les courbes...
[tex]f(x)=x^3-2x+3[/tex]    d'où  [tex]f'(x)=3x^2-2[/tex] 
et
[tex]f(0)=3 ,\;f'(0)=-2[/tex]  équation tangente à [tex]C_f[/tex] : [tex]y = -2x+3[/tex]
[tex]f(1)=2 ,\;f'(1)=1[/tex]   équation tangente à [tex]C_f[/tex] : [tex]y = x+1[/tex]

[tex]g(x)=2x^2-3x+3[/tex]  d'où  [tex]g'(x)=4x-3[/tex]
et
[tex]g(0)=3 ,\;g'(0)=-3[/tex]
Il y a 3 tangentes et non 4 : même point (1 ; 2), même coefficient directeur...
En outre, [tex](x-1)^2=0[/tex]  fournit une solution double. Hasard ?

Sur ce, je m'en vais me jeter dans les bras de Morphée...

@+


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#10 15-09-2014 21:54:44

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

le tableau de varriation de f serai donc :
comme 3x²>0 f(1)=2
donc

x     |-oo    2    +oo
-----|-------------------
f'(x)|+       0      -     
-----|---------------------
f(x) |      ^ 1 \
      |-oo /      v +oo

?

#11 15-09-2014 21:57:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Problème avec les dérivations

Euh... si j'en crois la dérivée de Yoshi, f'(2) n'est pas égal à 0. As-tu dessiné la courbe sur ta calculatrice???

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#12 15-09-2014 22:01:04

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

Ma calculette ne veut pas faire les courbes

x     |-oo    -2    +oo
-----|-------------------
f'(x)|+       0      -     
-----|---------------------
f(x) |      ^ 1 \
      |-oo /      v +oo
se serai mieu?

#13 15-09-2014 22:18:53

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

ou plutôt pour g

x     |-oo    -2    +oo
-----|-------------------
f'(x)|+       0      -     
-----|---------------------
f(x) |      ^ 3 \
      |-oo /      v +oo

et g

x     |-oo    -3    +oo
-----|-------------------
g'(x)|+       0      -     
-----|---------------------
g(x)|      ^ 3 \
      |-oo /      v +oo

#14 15-09-2014 22:23:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Problème avec les dérivations

Bon,

bin, chuis encore pas couché après ça, j'y vais...
Ta calculette trace pas les courbes ? T'es resté à un modèle Collège ? Sinon lequel est-ce ?
Télécharge un logiciel  simple qui est aussi un grapheur :
http://www.bibmath.net/geolabo/tele/index.php3

Pour le reste : non !
[tex]f'(x)=3x^2-2= (x\sqrt 3 - \sqrt 2)(x\sqrt 3+\sqrt 2)[/tex] (factorisation d'une différence de 2 carrés)
Les 2 valeurs qui annulent la dérivée sont donc :
[tex]x_1=-\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=-\frac{\sqrt 6}{3}[/tex]  et   [tex]x_2=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac{\sqrt 6}{3}[/tex]

La dérivée est donc positive à l'extérieur de [tex][x_1\;;\;x_2][/tex] négative à l'intérieur...
Donc f croissante, décroissante, croissante.

La valeur qui annule est [tex]x = \frac 3 4[/tex]
Comme le coeff de x² dans g(x) est >0, ta fonction est décroissante, admet un minimum en [tex]x =\frac 3 4[/tex] puis croissante...


@+


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#15 15-09-2014 22:50:41

sam9997
Invité

Re : Problème avec les dérivations

D'accord merci beaucoup !
(non je n'ai pas de calculette collège mais certaine fonctionnalité ne marche plus)
@+

#16 16-09-2014 11:52:59

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Problème avec les dérivations

Salut,

yoshi a écrit :

La valeur qui annule est [tex]x = \frac 3 4[/tex]
Comme le coeff de x² dans g(x) est >0, ta fonction est décroissante, admet un minimum en [tex]x =\frac 3 4[/tex] puis croissante...

On peut aussi dire ça comme suit.
La dérivée est [tex]g'(x)=4x-3[/tex].
La valeur qui annule cette dérivée est [tex]x = \frac 3 4[/tex]
[tex]4x-3 <0[/tex] pour [tex]x  <\frac 3 4[/tex]
[tex]4x-3 >0[/tex] pour [tex]x  >\frac 3 4[/tex]
La fonction g est  décroît donc de [tex]+\infty[/tex] à  [tex]\frac{15}{8}[/tex] puis croît de [tex]\frac{15}{8}[/tex] à [tex]+\infty[/tex].
Le sommet de la parabole (courbe représentative de g) est le point de coordonnées [tex]\left (\frac 3 4\;;\;\frac{15}{8}\right)[/tex] : c'est un minimum.

@+


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