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#1 07-09-2014 13:34:35

LILA312
Invité

Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Bonjour, mon prof de maths de 1ere nous à donné un devoir à faire, je bloque dessus, et commence a désespérer... Pouvez vous m'aider SVP?


"Dans un triangle équilatéral ABC, on place les points P et Q sur [BC], M et N respectivement sur [AB] et [AC] de tel manière que PQNM soit rectangle .

Comment placer ces points pour que l'aire du rectangle PQNM soit maximale? "


Merci :)

#2 07-09-2014 14:36:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 390

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Bonjour,


je bloque dessus, et commence a désespérer.

Les chants désespérés sont les chants les plus beaux
Alfred de Musset.

Blague à part, je pose AB = AC = BC =a et PQ = x et 0<x<a...
J'ai donc [tex]BP = QC =\frac{a-x}{2}[/tex]...
Les 2 triangles BPN et QCM se combinent pour donner un triangle équilatéral de côté [tex]a-x[/tex]...

Le triangle AMN est lui-même équilatéral de base [MN] : [tex]MN = x[/tex]

La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure [tex]\frac{a\sqrt 3}{2}[/tex]
L'aire f(x) du rectangle est MN * NP
NP est la hauteur du triangle équilatéral formé avec les triangles BNP et QCM de côté [tex]a-x[/tex], soit [tex]\frac{(a-x)\sqrt 3}{2}[/tex]

Cela dit, je me demande si tu es capable de trouver ça si peu de temps après la rentrée...
Sauf si tu as vu ce qu'est une dérivée et à quoi elle sert, je te conseille de faire ça comme les exos vus en 2nde, développer et mettre f(x) sous la forme [tex]k - (g(x))^2[/tex] et chercher pour quelle valeur de x, g(x) est le plus petit possible (soit = 0), et là c'est relativement direct...

Je reviens dans un peu plus de 2 h...

@+


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#3 07-09-2014 16:36:40

LILA312
Invité

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Merci, je vais essayer ça! :)

#4 07-09-2014 17:05:50

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 390

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Salut,

Me rev'la...
Alors, où en es-tu ?

@+


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#5 07-09-2014 17:27:22

LILA312
Invité

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

je comprend le début, mais pas vraiment la fin :/

#6 07-09-2014 17:50:40

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 390

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Salut,


J'ai placé P et Q sur [BC] dans cet ordre : B, P, Q, C...

Qu'est-ce que "le début" ? Il va jusqu'où ?
[tex]NP = \frac{(a-x)\sqrt 3}{2}[/tex] L'avais tu trouvé ?

Aire [tex]f(x)= x\times \frac{(a-x)\sqrt 3}{2}[/tex] As-tu trouvé cela ?
Maintenant je récris cette aire autrement :
[tex]f(x)=\frac{\sqrt 3}{2} [x(a-x)][/tex]
Et je m'intéresse plus qu'à [tex]x(a-x)[/tex] :
[tex]x(a-x)=ax-x^2 = -(x^2-ax) =-\left[\left(x-\frac a 2\right)^2-\frac{a^2}{4}\right]=\frac{a^2}{4}-\left(x-\frac a 2\right)^2[/tex]
Comprends-tu ce que je fais sur la ligne ci-dessus ? C'est un mécanisme à connaître (mis en place en 2nde) et qui permet notamment de factoriser (si c'est possible)...

Exemple avec [tex]x^2+2x-3[/tex]
[tex]x^2+2x-3 = (x^2+2x) - 3 = [(x+1)^2 -1] - 3=...[/tex]
Je considère que :
[tex]x^2+2x[/tex] est le début du développement de [tex](x+1)^2[/tex]...
Mais [tex](x+1)^2 = x^2+2x+1[/tex], donc [tex]x^2+2x = (x+1)^2 - 1[/tex]

Te souviens-tu de ce procédé ? C'est cela qu'on utiliserait si on nous demandait d'écrire [tex]x^2+2x-3[/tex] sous forme canonique...

A te lire


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#7 07-09-2014 18:43:04

LILA312
Invité

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Je crois comprendre, mais je ne me rappel pas vraiment l'avoir appris l'année dernière...
Je vérifierais ce que j'ai fait avec mon prof demain matin.
Merci beaucoup de votre aide :)

#8 07-09-2014 19:04:04

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 390

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Re,

Et l'on voit que [tex]\frac{a^2}{4}-\left(x-\frac a 2\right)^2[/tex] est maximum si [tex]\left(x-\frac a 2\right)^2[/tex] vaut 0, soit si [tex]x =\frac a 2[/tex]

@+


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#9 08-09-2014 10:54:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 390

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Bonjour,

Entre deux poses de bordure, j'ai réfléchi...
Ta fonction aire :
[tex]f(x)=\frac{\sqrt 3}{2}(ax-x^2)[/tex] varie selon la valeur de x choisie sur [tex][0\;;\;a][/tex].
Quel est donc son sens de variation ?
En 2nde (et là, c'est sûr) tu as vu que la fonction f
* est croissante sur un intervalle I, si quels que soient [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] deux valeurs de x dans cet intervalle et [tex]x_2>x_1[/tex] et si on a : [tex]f(x_2)>f(x_1)[/tex]
* est décroissante si [tex]f(x_2)<f(x_1)[/tex]...

Voyons cela :
Je pose [tex]g(x)= ax-x^2[/tex]. Le sens de varation de f est le même que celui de g (j'évite de traîner les racines dans les calculs)
Le signe de [tex]f(x_2)-f(x_1) = \frac{\sqrt 3}{2}(g(x_2)-g(x_1))[/tex] est donc le même que celui de [tex]g(x_2)-g(x_1)[/tex] puisque
[tex]\frac{\sqrt 3}{2} > 0[/tex]

Le sens de variation de f est le même que celui de g (et j'évite donc de traîner les racines dans les calculs)
[tex]g(x_1)=ax_1-x_1^2[/tex]
[tex]g(x_2)=ax_2-x_2^2[/tex]
[tex]g(x_2)-g(x_1)=ax_2-x_2^2-ax_1+x_1^2[/tex]
que l'on factorise :
[tex]g(x_2)-g(x_1)=ax_2-x_2^2-ax_1+x_1^2=a(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2)=a(x_2-x_1)-(x_2+x_1)(x_2-x_1)[/tex]

D'où
[tex]g(x_2)-g(x_1)=(x_2-x_1)(a-x_2-x_1)[/tex]
Et là je vois que comme j'ai choisi [tex]x_2 > x_1[/tex] alors [tex]x_2 - x_1 >0[/tex]  et le signe de [tex]g(x_2)-g(x_1)[/tex] est celui de [tex]a-x_2-x_1[/tex].
Et là je vois que si :
* [tex]x_1 < x_2 < \frac a 2[/tex] alors [tex]a-x_2-x_1 >0[/tex], donc [tex]g(x_2)-g(x_1) >0[/tex] ou encore [tex]g(x_2) >g(x_1)[/tex].
   g est croissante, et f aussi
* [tex]\frac a 2 < x_1 < x_2 [/tex] alors [tex]a-x_2-x_1 < 0[/tex], donc [tex]g(x_2)-g(x_1) <0[/tex] ou encore [tex]g(x_2) <g(x_1)[/tex].
   g est décroissante et f aussi.
Donc la fonction aire atteint un maximum pour [tex]x = \frac a 2[/tex]

L'expression forme canoniquee n'est ni prononcée ni utilisée en 2nde...
Rien n'empêche pourtant d'utiliser le procédé en étant guidé, parce que ce que je viens de montrer ci-dessus est plutôt lourd...

@+


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