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#1 30-08-2014 21:56:43

cirdeco
Invité

orthogonal / orthonormé

Bonsoir,
Est-ce que la formule classique de calcul d'une distance AB à partir des coordonnées de A et B dans un repère ORTHONORME est-elle bien valable aussi dans un repère orthogonal (O; I, J) à condition que OI = OJ ?
Merci.
R.

#2 30-08-2014 22:06:32

ali55
Membre
Inscription : 28-08-2014
Messages : 29

Re : orthogonal / orthonormé

Bonsoir

pour moi en tous cas orthogonal et  OI = OJ équivaut à un plan orthonormal
donc on peut calculer les distances selon le même procédé

Dernière modification par ali55 (30-08-2014 22:07:08)

Hors ligne

#3 31-08-2014 10:21:33

fravoi
Invité

Re : orthogonal / orthonormé

Bonjour,
Je ne m'y connais pas trop en géométrie (qui n'est plus au programme de math sup à part les espaces affines). Donc je parle avec les uniques connaissances que j'aies des espaces affines : un repère R est donné par un point, puis la base associée : dans ton cas, le point est O et ta base est (vecOI, vecOJ) où vec désigne un vecteur. On a vecOI orthogonal à vecOJ avec ta définition du repère. Il faut donc vérifier que R est orthonormé ie que la norme de vecOI est égale à la norme de vecOJ qui doit être égale à 1.
Donc pour moi, il faut poser arbitrairement OJ =OI (ce que tu as déjà) = 1 (ce que tu n'as pas) pour avoir un repère orthonormé. C'est en tout cas le cas dans les espaces affines :)

#4 31-08-2014 17:28:18

cirdeco
Invité

Re : orthogonal / orthonormé

Bonsoir,
D'accord !
Est-il bien correct de dire que la notion de milieu, d'alignement et de parallélisme est conservée quel que soit le repère et que la notion d'angle et de distance n'est conservée que dans un repère orthonormé.
Merci.
C.

#5 31-08-2014 20:29:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : orthogonal / orthonormé

Je crois que oui....

Fred.

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#6 31-08-2014 20:35:47

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : orthogonal / orthonormé

Salut,

Dans, ce cas, petite question :
Si la notion de longueur n'est conservée que dans un repère orthonormé, alors pourquoi la notion de milieu l'est-elle quand même en dehors ?
Quelque chose m'échappe-t-il ou alors n'y aurait-t-il pas là une contradiction ?

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#7 01-09-2014 06:03:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : orthogonal / orthonormé

Remarque très intéressante de Yoshi!!!
Comme j'avais peur de me montrer, j'ai consulté une référence (document de préparation de D. Perrin pour le capes) :
" On notera que cette notion de milieu est purement affine : elle peut se définir indépendamment de l’existence d’une
distance sur l’espace affine considéré. Dans un problème de géométrie purement affine (sans introduction d’une distance),
on ne peut pas caractériser le milieu par les relations ma = mb = ab/2 : cela n’a aucun sens. Bien entendu, en géométrie
euclidienne, cette caractérisation est très importante."

Essentiellement, cela veut dire que le milieu est défini par sa relation vectorielle :
le milieu de [AB] est l'unique point M tel que
[tex]\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM} [/tex]

Tout ce qu'on peut définir uniquement à bases d'égalités vectorielles ne dépend pas du repère affine où l'on se place (ex : parallélisme,...).
Dès qu'on a besoin d'utiliser le produit scalaire (distance, angles...), on n'est plus dans le domaine de la géométrie affine, mais dans celui de la géométrie euclidienne....

Fred.

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#8 01-09-2014 08:33:01

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : orthogonal / orthonormé

Bonjour,

Je subodorais bien un truc comme ça...
Quitte à jouer les "chieurs", je vais ajouter un codicille...
Donc, parlons vecteurs...
Cela signifierait donc que, dans un repère cartésien (j'ai toujours appelé ça comme ça, même si sur wikipedia j'ai vu à plusieurs reprises l'identité repère cartésien = repère orthonormé), certaines propriétés des vecteurs n'ont plus cours ?...
Par ex : deux vecteurs ont même direction, même sens, même longueur.
Ou des définitions telle celle du parallélogramme : si un quadrilatère non croisé a deux ôtés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme...
Ou certaines propriétés des translations : conservation des longueurs et des angles...

Mais je m'avise du distinguo entre les adjectifs affine et euclidien.

M'est avis que Cirdeco a soulevé là un sacré lièvre et que la question relèverait peut-être davantage du niveau Supérieur que Collège/Lycée
Mais même dans un repère cartésien l'axiome d'Euclide est respecté ; bon, toutes les propriétés concernant la perpendicularité n'y ont plus de sens...
Un espace est euclidien s'il peut être mini d'un repère orthonormé (ajout du produit scalaire de deux vecteurs) : la géométrie euclidienne est donc un "sous-produit" de la géométrie affine...

@+


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#9 01-09-2014 11:02:12

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : orthogonal / orthonormé

Bonjour,

yoshi a écrit :

Un espace est euclidien s'il peut être mini d'un repère orthonormé (ajout du produit scalaire de deux vecteurs) : la géométrie euclidienne est donc un "sous-produit" de la géométrie affine...

En ajoutant, après le commentaire de Fred : "Dès qu'on a besoin d'utiliser le produit scalaire (distance, angles...), on n'est plus dans le domaine de la géométrie affine, mais dans celui de la géométrie euclidienne...." que l'angle droit est défini dans la géométrie affine (angle droit pour les angles comme le milieu pour les segments...)

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#10 01-09-2014 19:51:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : orthogonal / orthonormé

@yoshi : Dans un repère affine, on ne peut pas définir la notion de longueur. Définir la longueur d'un vecteur ou du côté d'un parallélogramme n'a pas de sens. La géométrie affine, c'est la géométrie sans longueurs, mais avec les directions. Remarque bien qu'on n'a pas besoin de la notion de longueur pour dire que deux vecteurs sont égaux.... Il suffit de se ramener à la définition avec le parallélogramme.

@+
Fred.

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#11 01-09-2014 20:55:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : orthogonal / orthonormé

Salutn

Oui, j'avais bien vu ça, c'est pourquoi, j'avais noté qu'un certain nombre de définitions n'étaient pas utilisables...

Il y a bien bien longtemps j'avais vu la définition du vecteur comme étant une classe d'équivalence de bipoints équipollents.
Deux bipoints (A,B), (C,D) étaient dits équipollents si (A,D) et (B,C) avaient même milieu et donc pour ne pas tourner en rond, il faut bien sûr utiliser le parallélogramme.
Au fait, ces notions sont-elles toujours d'actualité ou pas ?

Il fut même un temps, où dans un programme de 6e "farfelu", il était question de faire (ou à tout le moins essayer) toucher aux mômes la notion de longueur comme classe d'équivalence (sans le dire bien sûr) au travers de segments superposables...
C'était "l'heureux temps" des maths modernes où on traitait les Barycentres en 4e !
Quand on voit ce que sont devenus les Barycentres du programme des Lycées, ça laisse rétrospectivement rêveur...
Un de nos inspecteurs en réunion nous avait un jour annoncé tout fiérot que son fils de maternelle dernière année, montrant à son père un ensemble d'oranges et un ensemble de bananes, lui avait déclaré "ces ensembles sont équipotents"...

@+


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