inégalité à demontrer

ali55 · 30-08-2014 19:36:56

Bonjour

Je cale sur l'exercice suivant:
soient x et y 2 réels positifs et x+y=1, n entier naturel
montrer que:

[tex](1+\frac {1}{x^n})(1+\frac {1}{y^n})\geq (1+2^n)^2[/tex]

Si quelqu'un a une indication, elle sera la bienvenue
merci

Dernière modification par ali55 (30-08-2014 21:30:17)

ali55 · 30-08-2014 21:01:47

je vous presente ce que j'ai fait mais sans résultats!:

[tex]x\leq1[/tex] (car x+y=1)
[tex]\frac{1}{x^n}\geq1[/tex]
[tex]1+\frac{1}{x^n}\geq2[/tex]

même chose pour y d'où:
[tex]1+\frac{1}{y^n}\geq2[/tex]

en faisant le produit des 2 inégalités, j'obtiens
[tex](1+\frac{1}{x^n})(1+\frac{1}{y^n})\geq2^2[/tex]

Là je bloque je me suis gouré dans une mauvaise piste?!

Dernière modification par ali55 (30-08-2014 21:03:48)

totomm · 30-08-2014 22:38:04

Bonsoir,

je n'ai qu'une piste : Soit le 1er membre écrit en x, il y a symétrie par rapport à x=0.5
pour x=0.5 il y a égalité

Dériver le premier membre
la dérivée est négative pour 0<x<0.5 , nulle pour x=0.5, positive pour 0.5<x<1 : ce qui prouve l'inégalité

je n'ai vérifié le signe de la dérivée que pour n=1 et n=2...

Fred · 30-08-2014 22:46:28

Salut,

A peu près comme Totomm, mais je crois que cela marche à tous les coups....
Je développe tout à droite et à gauche. Il suffit que je démontre les deux inégalités suivantes :

1. [tex]\frac 1{x^n}+\frac 1{y^n}\geq 2^{n+1} [/tex]

2. [tex]\frac 1{x^n y^n}\geq 2^{2n} [/tex]

La preuve de 2. est la plus facile. Il suffit par une manipulation facile d'inégalités de prouver que [tex]xy\leq \frac 14[/tex]
En posant [tex]y=1-x[/tex], tu sauras prouver que [tex]x(1-x)\frac 14[/tex] si x est dans l'intervalle [0,1].

La preuve de 1. me semble plus difficile. Là encore, je poserais y=1-x, et j'étudierais la fonction
[tex]f(x)=\frac 1{x^n}+\frac 1{(1-x)^n} [/tex] Je veux démontrer qu'elle est plus grande que [tex] 2^{2n+1}[/tex] sur l'intervalle [0,1], et en la dérivant, on voit qu'elle atteint un minimum en 1/2 qui est exactement [tex]2^{2n+1}[/tex].

La différence entre ma méthode et celle de Totomm est que j'étudie deux inégalités, ce qui rend l'étude de la fonction plus facile.

Fred.

totomm · 30-08-2014 23:28:33

Bonsoir,

Mais oui, Fred, la bonne piste est de développer le carré du membre de droite, puis de séparer...

totomm · 31-08-2014 08:17:23

Bonjour,

1 seul est à prouver car 2 est un cas particulier de 1 pour n=1
en effet : [tex]\frac{1}{xy}=\frac{x+y}{xy} =\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/tex]

La dérivée du 1er membre de 1 est[tex] n(\frac{-1}{x^{n+1}}+\frac{1}{(1-x)^{n+1}})=n(\frac{-1}{x^{n+1}}+\frac{1}{y^{n+1}})[/tex]
Cette dérivée est bien nulle pour x=y, négative pour x<y et positive pour x>y.

Dernière modification par totomm (31-08-2014 08:58:30)

ali55 · 31-08-2014 11:51:03

bonjour,

je pensais qu'il y avait plus simple à faire ( sans passer par une étude de fonction ...)

en tous cas merci pour vos reponses

totomm · 31-08-2014 13:44:22

Bonjour,

@ ali55 : Pour commenter votre dernière remarque,
soit un rectangle dont le périmètre est fixé. Vous savez bien sûr trouver sa forme pour que son aire soit maximale.

Voyez-vous la relation avec "faire la preuve" du 2. mis en évidence par Fred au post #4 ?

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inégalité à demontrer

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