Forum de mathématiques - Bibm@th.net

amatheur

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Partie entière de suite

SALUT

je bloque devant cet exercice s'il vous plait:
soit la suite réelle:
[tex]x_{n+1}= x_n+\lfloor{\frac{x_n}{n}\rfloor}+2[/tex] ,
Avec [tex] x_1=1[/tex]

où [tex]\lfloor{x}\rfloor[/tex] est la partie entière de [tex]x[/tex]

trouvez [tex]x_{2013}[/tex]

MERCI

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J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

tibo

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Re : Partie entière de suite

yop,

Informatiquement je trouve 24 121.
Mais sinon je vois pas.

Voila la 50 premiers termes,

X1 = 1
X2 = 4
X3 = 8
X4 = 12
X5 = 17
X6 = 22
X7 = 27
X8 = 32
X9 = 38
X10 = 44
X11 = 50
X12 = 56
X13 = 62
X14 = 68
X15 = 74
X16 = 80
X17 = 87
X18 = 94
X19 = 101
X20 = 108
X21 = 115
X22 = 122
X23 = 129
X24 = 136
X25 = 143
X26 = 150
X27 = 157
X28 = 164
X29 = 171
X30 = 178
X31 = 185
X32 = 192
X33 = 200
X34 = 208
X35 = 216
X36 = 224
X37 = 232
X38 = 240
X39 = 248
X40 = 256
X41 = 264
X42 = 272
X43 = 280
X44 = 288
X45 = 296
X46 = 304
X47 = 312
X48 = 320
X49 = 328
X50 = 336

Dernière modification par tibo (23-08-2014 20:10:47)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Fred

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Re : Partie entière de suite

Salut,

Je peux me tromper, mais à la lecture du tableau de Tibo, on remarque (conjecture)
que la différence [tex]x_{n+1}-x_n[/tex] dépend uniquement de l'entier k tel que [tex]n\in [2^k,2^{k+1}-1] [/tex].

Je pense qu'il faut essayer de démontrer (par récurrence sur k???) que si [tex]n\in [2^k,2^{k+1}-1] [/tex], alors
[tex]x_{n+1}-x_n=k+3[/tex].
Puis, avec un peu de combinatoire, on doit pouvoir en déduire la valeur de [tex]x_{2013}[/tex]. Je n'ai pas trop le courage de chercher plus ce soir.

Fred.

amatheur

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Re : Partie entière de suite

SALUT
merci pour votre aide les gars; j'ai pu démontrer la relation suivante:

[tex]\lfloor{\frac{x_n}{n}+\frac{2}{n+1}\rfloor}=\lfloor{\frac{x_{n+1}}{n+1}\rfloor}[/tex]

je vais chercher à démontrer la conjecture de Fred,

@+

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totomm

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Re : Partie entière de suite

Bonjour,

En poussant encore un peu les observations de Fred,

Si l'on admet que pour [tex]n=2^k\ on\ a\ x_n=n(k+1)[/tex]
Et si l'on appelle [tex]E_n[/tex] la partie entière de [tex]\frac{x_n}{n}=k+1[/tex]

Alors, pour [tex]m<2^k[/tex] la partie entière [tex]E_{n+m}[/tex] de [tex]\frac{x_{n+m}}{n+m}[/tex] ne varie pas
et l'on a [tex]x_{n+m}=x_n+m(k+3)[/tex]

Pour [tex]m=2^k[/tex] la partie entière de [tex]\frac{x_{n+m}}{n+m}[/tex] augmente de 1,
Ce qui permet d'établir la récurrence de k+1 depuis k…

amatheur

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Re : Partie entière de suite

re
merci pour votre aide.

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