Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

recherche de fonctions - primitives de 1/x

Bonjour,

je viens de tenter de résoudre l'exercice suivant :

déterminer les nombres réels a strictement positifs et les fonctions f définies et continues sur [tex][a ; + \infty [[/tex] tels que
[tex]\forall x > a[/tex] : [tex]\int_a^x f(t) dt = ln(2x)[/tex].

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : recherche de fonctions - primitives de 1/x

▼solution ?

Soit [tex]a >0[/tex], F la fonction définie sur [tex][a , + \infty [[/tex] par [tex]F(x) = \int_a^x f(t) dt[/tex].
Puisque f est définie et continue sur [tex][a , + \infty [[/tex], F est dérivable sur [tex][a , + \infty [[/tex] et [tex]F'(x) = f(x)[/tex].

Si [tex]F(x)= ln(2x)[/tex]   alors [tex]F'(x)= \frac{2}{2x}=\frac{1}{x}[/tex]

Donc [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]

Réciproquement, si [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex], alors [tex]\int_a^x f(t) dt = [ln(t)]_a^x = ln(x) - ln(a)=ln(\frac{x}{a})[/tex].
Or [tex]\int_a^x f(t) dt =ln(2x)[/tex] d'où [tex]a = \frac{1}{2}[/tex].

Finalement je ne trouve comme solution que la fonction f définie sur [tex][\frac{1}{2} , + \infty[[/tex] par [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex].

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : recherche de fonctions - primitives de 1/x

En fait, j'ai posté cet exercice parce qu'en le résolvant, je me suis poser quelques questions du genre, pourquoi dans les tableaux de primitives, celle de [tex]x --> \frac{1}{x}[/tex] est ln(x) et pas ln(kx), avec k >0.
En rédigeant, j'ai compris ...

Enfin, en relisant l'énoncé, je me suis rendu compte que c'était 2 ln (x) et non ln(2x). Je trouve :

▼solution bis

[tex]f(x)=\frac{2}{x}[/tex] et a = 1

Dernière modification par ymagnyma (23-08-2014 10:02:17)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 049

Re : recherche de fonctions - primitives de 1/x

Tu t'es répondu à toi-même, et cela me semble correct...

Fred.

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : recherche de fonctions - primitives de 1/x

Merci. Bonne journée.