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#1 05-08-2014 13:32:40

pipop
Invité

Prouver qu'un ensemble est infini

Bonjour tout le monde ,
comment allez vous ? Bon alors j’expose mon probleme :
j'aimerai montrer que :
Soit E un ensemble. Montrer que E est infini si, et seulement si, pour toute
fonction f : E -> E, il existe A  incluse dans avec A différent de l'ensemble vide  ; et A différent de E telle que f(A) inclue dans  A.

J'ai pensé à faire comme suit :
si on suppose que E est fini
d’après le théorème du rang on a : dim(E)=rg(f)+dim(ker(f))
Si de plus je suppose que mon appli est surjective puisque f(A) est inclue dans A
Comme on est dans un ensemble fini f est surjective ssi elle est injective ssi elle est bijective . d'ou dim(ker(f))=0
Mais on a supposé que f(A) inclus dans A qui est une partie de E
d'ou dim(E)>rg(f)
ce qui contredit l'egalité du theoreme du rang .
on a ainsi une absurdité !
donc notre E est infini .
qu'en pensez vous ?
merci d'avance .

#2 05-08-2014 17:59:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Prouver qu'un ensemble est infini

Bonsoir,

  Cela ne va pas du tout :
1. Tu confonds ensemble général et espace vectoriel.
2. Tu confonds fonction générale et application linéaire. Appliquer le théorème du rang n'a aucun sens pour une fonction qui n'est pas une application linéaire, qui plus est entre ensembles qui ne sont pas forcément des espaces vectoriels.
3. Tu confonds ensemble fini et espace vectoriel de dimension finie. Un ensemble est fini s'il contient un nombre fini d'éléments.

Fred.

Hors ligne

#3 05-08-2014 19:17:16

pipop
Invité

Re : Prouver qu'un ensemble est infini

Fred a écrit :

Bonsoir,

  Cela ne va pas du tout :
1. Tu confonds ensemble général et espace vectoriel.
2. Tu confonds fonction générale et application linéaire. Appliquer le théorème du rang n'a aucun sens pour une fonction qui n'est pas une application linéaire, qui plus est entre ensembles qui ne sont pas forcément des espaces vectoriels.
3. Tu confonds ensemble fini et espace vectoriel de dimension finie. Un ensemble est fini s'il contient un nombre fini d'éléments.

Fred.

merci Fred pour ta reponse , je comprend mes erreurs mais je ne vois pas comment repondre, un indice ? (j'ai vu la correction mais je trouve que la methode utilisée est comme tombee du ciel il faut la connaitre pour trouver  la solution) . avez vous des propositions pour resoudre cet exo ?
merci d'avance .

#4 06-08-2014 21:31:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Prouver qu'un ensemble est infini

Voici une façon de procéder, je ne sais pas si elle te conviendra :

1. Si E est fini, tu peux supposer E={1,...,n} et tu définis f par f(i)=i+1, sauf f(n)=1.
Il n'existe pas de A comme tu le souhaites.

2. Si maintenant E est infini, soit f n'importe quelle application de E dans E, considère x dans E et pose y=f(x). On considère ensuite A l'ensemble des itérés de y, c'est-à-dire que A={y,f(y),f^2(y),...}. Alors A est différent de l'ensemble vide, est stable par f. Il reste à voir qu'il est différent de E. Si jamais il était égal à E, alors il existe p tel que [tex]f^p(y)=x[/tex] et donc [tex]f^{p+1}(y)=f(x)=y[/tex]. On vérifie alors facilement que [tex]A={y,f(y),...,f^{p+1}(y)}[/tex] et donc que E est fini, une contradiction.

Fred.

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#5 29-08-2014 22:21:59

pepito
Invité

Re : Prouver qu'un ensemble est infini

Salut Fred ,
Je ne comprends pas cette partie ,

Fred a écrit :

Si jamais il était égal à E, alors il existe p tel que [tex]f^p(y)=x[/tex] et donc [tex]f^{p+1}(y)=f(x)=y[/tex]. On vérifie alors facilement que [tex]A={y,f(y),...,f^{p+1}(y)}[/tex] et donc que E est fini, une contradiction.

Fred.

pourquoi est ce qu'il existe ce x si A est egale a E ? et que prouve son existence ?
merci d'avance

#6 30-08-2014 20:34:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Prouver qu'un ensemble est infini

pepito a écrit :

pourquoi est ce qu'il existe ce x si A est egale a E ?

J'ai pris, au départ de ma démonstration, n'importe quel x de E. Si A=E, alors [tex]x\in E[/tex], donc [tex]x\in A[/tex] et [tex]A[/tex]
est justement l'ensemble des itérés de y, c'est-à-dire [tex]A=\{y,f(y),f^2(y),\dots\} [/tex].

et que prouve son existence ?
merci d'avance

Sous l'hypothèse que A=E, on a donc x et y tels que [tex]y=f(x),\ f^p(y)=x[/tex]. Mais alors, on vérifie que
[tex]A=\{y,f(y),\dots, f^p(y)\} [/tex] car les autres itérés apparaissent déjà dans cette liste. En effet,
[tex] f^{p+1}(y)= f(f^p(y))=f(x)=y[/tex], [tex]f^{p+2}(y)=f(f^{p+1}(y))=f(y)[/tex] et ainsi de suite...

Donc A est fini donc E est fini

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