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#1 13-07-2014 19:27:30
- pepito
- Invité
Serie (a^n)/(n!)
Bonjour tout le monde ,
j’espère que tout va bien de votre coté . Je m'adresse à vous aujourd'hui car j'aimerai savoir vers quoi converge la serie sigma (a^n)/(n!) et surtout comment arriver à ce résultat .
merci de me répondre.
#2 13-07-2014 19:41:53
Re : Serie (a^n)/(n!)
Salut,
Je suppose que a est un réel, dans ce cas ta série est une série entière, son rayon de convergence est infinie d'après la règle de d'Alembert.
De plus si tu notes [tex]F(a)[/tex] ta série et [tex]F'(a)[/tex] la série dérivée associée, tu as [tex]F'(a)=F(a)[/tex]. On remarque aussi que [tex]F(0)=1[/tex]. Finalement on en déduit que [tex]F(a)=\exp(a)[/tex] pour tout réel a.
Dernière modification par Choukos (13-07-2014 19:43:15)
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#3 13-07-2014 23:15:56
- pepito
- Invité
Re : Serie (a^n)/(n!)
Salut,
Je suppose que a est un réel, dans ce cas ta série est une série entière, son rayon de convergence est infinie d'après la règle de d'Alembert.
De plus si tu notes [tex]F(a)[/tex] ta série et [tex]F'(a)[/tex] la série dérivée associée, tu as [tex]F'(a)=F(a)[/tex]. On remarque aussi que [tex]F(0)=1[/tex]. Finalement on en déduit que [tex]F(a)=\exp(a)[/tex] pour tout réel a.
est ce que l'on peut démontrer que c'est exp(a) car personnellement je ne sais pas pourquoi tu as pensé directement à l'exponentiel , est ce "un truc " que l'ont voit en spé ? (je viens de finir ma sup donc excusez mon ignorance :D).
#4 14-07-2014 02:11:32
Re : Serie (a^n)/(n!)
Re,
Tu es familier avec les séries entières ? Je crois qu'on les voit en deuxième année mais c'est pas impossible que tu les aies déjà abordées.
En fait tu peux remarquer que pour tout réel a, la série converge, (tu peux appliquer le critère habituel de d'Alembert pour les séries numériques). On peut ainsi définir une fonction F qui à tout réel a associe ta somme pour ce a. Cette fonction est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] (tu peux par ex. montrer, avec des résultats de première année, que la dérivée de F est la dérivée terme à terme de ta somme).
Ce que j'ai essayé de mettre en valeur dans le post précédent, c'est que cette fonction F est solution au problème de Cauchy, y'=y de condition initiale y(0)=1. C'est une façon de définir l'exponentielle.
Pour ce qui est de l'intuition, tu as du voir que cette série ressmble au développement limité de l'exponentielle, toutefois il n'y a pas de terme de reste car on a "poussé le développement à l'infini". D'où le choix de l'exponentielle comme candidate.
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#5 16-07-2014 18:30:47
- Legendre
- Membre
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- Messages : 72
Re : Serie (a^n)/(n!)
Salut,
Sinon tu peux appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction [tex]x \mapsto exp(x)[/tex] au point a=0, et conclure en passant à la limite !
Cordialement.
Dernière modification par Legendre (16-07-2014 18:31:14)
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#6 17-07-2014 04:22:19
- Shadock
- Membre
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- Messages : 6
Re : Serie (a^n)/(n!)
On peut ajouter un petit plus que tu verras en deuxième année, c'est un classique :
La fonction exponentielle peut être approchée uniformément sur tout segment inclus dans [tex]\mathbb{R}[/tex] par des polynômes
Démonstration :
On définit une suite de polynômes [tex]\left(P_n \right)[/tex] par :
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, P_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}[/tex]
Alors [tex]||exp-P_n||_{\infty}^{[a,b]} = \max_{x \in [a,b]} \left|\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\right|=\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{c^k}{k!}[/tex] où [tex]c = max(|a|,|b|)[/tex]
Or [tex]\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{c^k}{k!}[/tex] est le reste d'ordre [tex]n[/tex] d'une série convergente donc sa limite est nulle, ainsi :
[tex]\lim_{n \to \infty} ||exp-P_n||_{\infty}^{[a,b]} = 0[/tex] d'où le résultat !
Shadock :)
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