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#1 11-07-2014 18:21:55

newton1
Invité

topologie

soient E et F deux R-espaces vectoriels normes et f une application de E dans F bornée sur la boule unité de E et telle que               f(x+y) =f(x)+f(y) pour tout x et y dans E. montrer que f est lineaire et continue

#2 11-07-2014 18:29:07

newton1
Invité

Re : topologie

je sais que si f est lineaire et comme f est bornée sur la boule unité de E alors f sera continue. maintenant, comment montrer que f est lineaire?

#3 11-07-2014 18:40:46

newton1
Invité

Re : topologie

svp jai besoin d'indication pour la linearité. merci de votre comprehension

#4 11-07-2014 20:16:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : topologie

Bonsoir,

  Du calme, du calme, si quelqu'un sait il va te répondre....
En fait, ce n'est pas si facile que tu le penses. Je crois qu'il faut d'abord démontrer la continuité pour démontrer que f est linéaire. Voici un plan d'attaque :

1. Démontrer que f(px)=pf(x) pour tout entier p.

2. Démontrer que f(x/q)=f(x)/q pour tout entier naturel q.

3. En déduire que f(rx)=rf(x) pour tout rationnel r.

4. Démontrer que f est continue en 0. Pour cela, si tu notes [tex]M=\sup \{\|f(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}[/tex], tu pourras remarquer que
si [tex] \|x\|\leq \frac 1p[/tex], alors [tex] \|f(x)\|\leq M/p [/tex]

5. Démontrer que f est continue partout (vient facilement de 4. et de la relation vérifiée par f)

6. Déduire de 3 et 5 la linéarité de f.

Fred.

Hors ligne

#5 11-07-2014 21:18:25

newton1
Invité

Re : topologie

merci fred. svp c'est un theoreme qui dit toute fonction continue f telle f(rx)=rf(x) pour tout rationnel r, est lineaire? et puis es ce que les questions 1,2 et 3 balaient la formule f(kx)=kx pour tout reel k?

#6 12-07-2014 06:50:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : topologie

newton1 a écrit :

merci fred. svp c'est un theoreme qui dit toute fonction continue f telle f(rx)=rf(x) pour tout rationnel r, est lineaire?

Non, il faut un argument qui utilise que les rationnels sont denses dans les réels, et que f est continue.

et puis es ce que les questions 1,2 et 3 balaient la formule f(kx)=kx pour tout reel k?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire... Ce n'est qu'après le dernier point qu'on arrive à démontrer la formule pour tout réel k.

F.

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#7 13-07-2014 13:45:27

newton1
Invité

Re : topologie

Donc au niveau de la 6e question, on utilise les questions 3 et 5 pour demontrer que f(kx)=kf(x) pour tout reel k?

et puis svp, je narrive pas demontrer que f(px)=pf(x) pour p entier negatif. quelle est l'astuce?(rappel de l'hypothese: f(x+y) =f(x) +f(y))

Dernière modification par yoshi (13-07-2014 14:14:04)

#8 13-07-2014 17:16:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : topologie

L'astuce est :

f(x)+f(-x)=f(x+-x)=f(0)

et f(0)=0 car f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)

Pour la question 6, oui!

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#9 14-07-2014 16:45:03

newton1
Invité

Re : topologie

bonsoir, grand merci pour cette astuce. cela m'a beaucoup aider. mais je me demande comment faire pour utiliser que si k n'est pas rationnel, comment utiliser la continuité de f partout et le fait que f(rx)=rf(x) pour montrer que f(kx)=kf(x) pour k non rationnel. svp une autre astuce pour cette partie m'aiderait beaucoup. cordialement

#10 14-07-2014 18:02:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : topologie

L' "astuce" est dans le post 6...

F.

Hors ligne

#11 14-07-2014 19:45:54

newton1
Invité

Re : topologie

svp, qu'est ce que vous appelez post 6... je ne comprend pas.

#12 14-07-2014 19:59:13

newton1
Invité

Re : topologie

si je comprend bien, comme Q est dense dans R, alors toute suite d'elements de Q a sa limite dans R et comme f est continue, ainsi on a f(lim kn)=lim f(kn) et on a le resultat recherché. vraiment merci M. fred

#13 14-07-2014 20:31:17

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : topologie

C'est presque cela, tu dois écrire [tex]f(k_n x)[/tex] et non [tex]f(k_n)[/tex].

F.

Hors ligne

#14 17-07-2014 13:25:23

newton1
Invité

Re : topologie

bonjour, vraiment merci pour cette aide qui m'a beaucoup aider. je pense que ce forum est le meilleur et nous aide a nous perfectionner et a etre encore performant en mathematique. vraiment merci

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