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#1 17-05-2014 15:47:50

Elevepremiere
Invité

Dm de math

Bonjour, voici mon dm de mathématiques :

On s'intéresse au coût total de production de perles de verre, en centaines d'euros, pour une quantité q[0;8] exprimée en tonnes.
Ce coût est défini par C(q)= q^3 - 6q^2+40q+100

1) a) Calculer les coûts fixes .
b) Calculer le coût de production en euros de 500 kg de perles, puis de 800kg
2) a) Calculer le coût marginal Cm(q) assimilé à la dérivée du coût total (il représente le coût supplémentaire engendré par la fabrication d'une tonne supplémentaire)
b) Etudier le signe du coût marginal et en déduire le tableau de variation de la fonction coût total sur l'intervalle [0;8].
3) a) Etudier les variations de la fonction coût marginal sur l'intervalle [0;8].
b) En quelle quantité le coût marginal est-il minimal ? (justifier)
c) Déduire de la nature de la fonction coût marginal une méthode permettant de trouver la réponse à la question précédente sans passer par l'étude des variations de la fonction coût marginal.

Voici ce que j'ai fais :

1) a) C(0) = 0^3-6*0^2+40*0+100=100
Les coûts fixes sont donc de 100 euros.
b) C(0.5) = 0.5^3-6*0.5^2+40*0.5+100 = 118.625
Le coût de production en euros de 500kg de perles est égale à 118.625 euros
C(0.8) = 0.8^3-6*0.8^2+40*0.8+100= 128.672
Le coût de production en euros de 800 kg de perles est égale à 128.672 euros.
2) a) La dérivée du coût total est égale à :
C'(q) = 3q^2 - 6*2q+40*1+100
= 3q^2-12q+140
b) Il me semble qu'il faut faire le discriminant pour trouver les deux racines et en déduire le tableau de variation

#2 17-05-2014 16:36:11

ymagnyma
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Re : Dm de math

Bonjour Elevepremiere, 1.(a), ok pour l'idée, mais pas pour la conclusion, lis mieux l'énoncé.
même erreur au 2(a)

une légère erreur, (peut-être en tapant) au 3(a), à laquelle il faudrait quand même répondre. (c'est ce que tu évoques en dernière ligne, mais ce n'est pas encore la 3(b).)

Tu as d'ailleurs raison, pour finir par répondre, fais ce que tu proposes.

le (b) viendra tout seul.

3(c), ça coince ou pas ?

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#3 17-05-2014 18:13:57

ymagnyma
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Re : Dm de math

En fait, en relisant te relisant pour la 3(a), ce n'est pas une légère erreur, tu dérives mal, (je n'avais pas fait attention au détail que tu donnes, comme quoi, c'est important). Dans la dérivation, les constantes additives, (pas les multiplicatives), disparaissent, non par enchantement, mais comme conséquence de la définition d'un nombre dérivé : limite, quand elle existe d'un taux d'accroissement, et ainsi, quand tu fais [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex], c'est précisément dans cette soustraction que les constantes additives se simplifient.

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#4 17-05-2014 18:35:03

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

Oulaa... Je suis désolé mais je n'ai pas suivi votre raisonnement. Je n'ai jamais vu "les constantes additives" et "les constantes multiplicatives"

#5 17-05-2014 18:37:02

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

ha oui je viens de comprendre. La dérivée est égale à :

C'(q)=3q²-12q+40

#6 17-05-2014 19:07:38

ymagnyma
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Re : Dm de math

ok, c'est ça.

Y a plus qu'à étudier le signe de ce trinôme du second degré, comme tu l'as proposé au post#1

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#7 17-05-2014 19:12:20

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

On fait donc le dicriminant :

b²-4ac = (-12)²-4*3*40 = -336

delta est inférieur à zéro il y a donc aucune racine

#8 17-05-2014 19:13:23

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

et c'est à ce moment là que je bloque ...

#9 17-05-2014 19:16:41

ymagnyma
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Re : Dm de math

Soit [tex]P(x)=4x^3-\frac{2}{3}x^2+\pi x-17[/tex]

Dans [tex]P(x)[/tex], les nombres 4 ; [tex]-\frac{2}{3}[/tex] ; [tex]\pi[/tex] et -17 sont des constantes.
Parmi ces constantes, 4 ; [tex]-\frac{2}{3}[/tex] et [tex]\pi[/tex] multiplient une puissance de x, on dit que ce sont des constantes multiplicatives.
Une seule constante ne multiplie aucune puissance de x, (sauf  [tex]x^0[/tex] qui n'a pas toujours de sens), cette constante est appelée constante additive.

remarque, tu vas me dire que dans [tex]Q(x)=3+x^5+4[/tex], il y a deux constantes additives et aucune constante multiplicative.
Que nenni te répondrais-je alors, la constante multiplicative est 1, et on peut toujours ré-écrire [tex]Q(x)=x^5+4+3=x^5+7[/tex], 7 est donc la constante additive.

ça roule ?

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#10 17-05-2014 19:23:22

ymagnyma
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Re : Dm de math

Certes, il n'y a aucune racine, ça veut dire que la courbe représentative de [tex]C'[/tex] ne coupe jamais l'axe des abscisses, autrement dit, qu'elle est toujours du même côté par rapport à l'axe des abscisses, autrement dit que [tex]C'(q)[/tex] est de signe constant, lequel ?

Ce que ça donne est possible et même cohérent avec l'énoncé, mais pas très intéressant, vérifie l'énoncé de départ, n'y a-t-il pas un moins qui traine devant [tex]q^3[/tex] ou [tex]40q[/tex] ?

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#11 17-05-2014 19:28:25

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

Cm (q) > 0 donc elle est croissante ? Mais je ne sais pas dire pourquoi..

Non non, C(q) est bien égale à q^3-6q²+40q+100

#12 17-05-2014 19:36:25

ymagnyma
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Re : Dm de math

Le signe d'un trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines, (quand il y en a), sinon, ben c'est du signe de a.
Comme a=3, C'(q) >0 donc C est strictement croissante, sur [0 ; 8].

Du coup, elle admet bien un minimum non ?
Ou ça ?

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#13 17-05-2014 19:40:29

ymagnyma
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Re : Dm de math

Ohhhhh mazette, je lis enfin correctement ton sujet, dans la question 3, ce sont les variations de cm que l'on cherche et pas celles de C.

Tu dois donc étudier les variations de [tex]cm(q)=3q^2-12q+40[/tex], (tu retrouves le niveau seconde).

Dernière modification par ymagnyma (17-05-2014 19:40:55)

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#14 17-05-2014 19:46:25

ymagnyma
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Re : Dm de math

Elevepremiere a écrit :

Cm (q) > 0 donc elle est croissante ?

ça c'est faux, Cm(q)>0, oui, par exemple comme tu l'as fait via le discriminant <0 et le signe de a, (là c'est moi).

Mais, comme je viens de l'écrire, il reste à déterminer les variations de Cm, dont la courbe représentative bien connue depuis la seconde n'est pas croissante, (pas toujours ; pas que).

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#15 18-05-2014 10:40:41

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

Je ne suis plus du tout la

#16 18-05-2014 11:02:06

ymagnyma
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Re : Dm de math

Ok, récapitulons !

au 1. tu calcules les coût fixes, tu raisonnes bien mais tes résultats sont un peu faux, pas grand chose à modifier.

au 2.tu devais calculer le coût marginal Cm, ce que tu as bien fait : [tex]Cm(q)=3q^2-12q+40[/tex].

au 3. tu dois étudier les variations du coût marginal Cm et non du coût C.
        Cm est une fonction de degré 2, tu l'as étudiée l'an dernier, sans passer par la dérivée, mais tu peux aussi étudier les variations de Cm en la dérivant. Là où tu es peut-être perdu, c'est que Cm est-elle même assimilée à la dérivée de C, mais peut importe, Cm est une fonction à part entière, on te demande d'étudier ses variations.

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#17 18-05-2014 11:20:45

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

1- Je ne vois pas du tout quelle erreur j'ai effectuée.

2- a) Cm(q) = 3q²-12q+40
   
    b) C'est ici que je bloque. On me demande d'étudier le signe du coût marginal et en déduire le tableau de variation de la fonction coût total sur l'intervalle [0;8].

#18 18-05-2014 11:46:09

ymagnyma
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Re : Dm de math

1. Quelle est l'unité de C(q) ?

2.b. c'est fait, tu as trouvé Cm(q)>0 donc C strictement croissante sur [0 ; 8], (puisque Cm est vu comme C')

3. On te demande maintenant de trouver les variations de Cm.

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#19 18-05-2014 12:06:34

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

1- Ha ! Ce sont des tonnes donc : C(0.0) ?

2.b Ok c'est compris merci.

3. Vu qu'on sait que la fonction et de la forme : ax²+bx+c on calcule le discriminant qui est négatif donc comme delta est inférieur à 0 il y a aucune racine. Donc ax²+bx+c est du signe de a ??

#20 18-05-2014 12:27:58

ymagnyma
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Re : Dm de math

Elevepremiere a écrit :

Bonjour, voici mon dm de mathématiques :

On s'intéresse au coût total de production de perles de verre, en centaines d'euros,

Elevepremiere a écrit :

1- Ha ! Ce sont des tonnes donc : C(0.0) ?

2.b Ok c'est compris merci.

3. Vu qu'on sait que la fonction et de la forme : ax²+bx+c on calcule le discriminant qui est négatif donc comme delta est inférieur à 0 il y a aucune racine. Donc ax²+bx+c est du signe de a ??

Je t'ai remis le début de l'énoncé.

Le 2b ne me semble pas si ok que ça vu ce que tu écris après pour le 3.

Le 2b s'intéresse au final à C, aux variations de C pour être plus précis.

le 3 s'intéresse à une autre fonction : Cm. Cette fois, tu dois étudier les variations de Cm et non plus le signe de Cm.

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#21 18-05-2014 12:42:17

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

je ne comprend plus rien !

#22 18-05-2014 12:54:56

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

Si je reprend du début :
1a - C(0.0) = 0.0^3 - 6*0.0²+40*0.0+100 = 100

1b - C(0.5) = 0.5^3 - 6*0.5²+40*0.5+100 = 118.625
       C(0.8) = 0.8^3 - 6*0.8²+40*0.8+100 = 128.672
2a- Cm(q) = 3q²-6*2q+40*1+0
                 = 3q²-12q+40
2b- Le signe du trinome du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines (quand il y en a) sinon, c'est du signe de a. Comme a=3, Cm(q)>0 donc Cm est strictement croissant sur l'intervalle [0 ; 8]

#23 18-05-2014 12:57:09

ymagnyma
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Re : Dm de math

1. C'est combien une centaine d'euros ? Et deux centaines d'euros ? Et cent centaines d'euros ?

2. Tu ne comprends rien ? Comment ça ? Tu l'as fait, mais c'est vrai, tu sembles ne pas t'en rendre compte.

3. Une dernière fois, ce que tu as à faire c'est d'étudier les variations de la fonction coût marginale Cm, définie sur [0 ; 8] par [tex]Cm(q)=3q^2-12q+40[/tex].

Quelles sont les courbes associées aux fonctions du second degré ?

Hors ligne

#24 18-05-2014 13:00:19

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

3a - cm(q)= 3q²-12q+40
        cm'(q)= 6q-12

Ensuite je fais le tableau de variation :

x                                   0         2            8
Signe de cm'(q)                 -      0     +
Variation de cm(q)        40       28          136

#25 18-05-2014 13:17:03

Elevepremiere
Invité

Re : Dm de math

C'est ça ?

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