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cirdeco

Invité

loi binomiale

Bonsoir,
Supposons que X suive la loi binomiale de paramètres n et p.
Alors la variable aléatoire Z définie par (X - np)/(racine carrée de (np(1 - p)) est centrée réduite.
X prend les valeurs entières entre 0 et n.
Un livre indique que Z prend les valeurs entre  - racine carrée de [ n(1 - p)/p ] et + racine carrée [ n(1 - p)/p ] mais je ne comprends pas cette symétrie car je trouve que Z prend les valeurs entre  - racine carrée de [np/(1 - p)] et  + racine carrée [ n(1 - p)/p ] .
Merci de m'éclairer,
Cordialement,
Cédric

Fred

Administrateur

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Messages : 7 057

Re : loi binomiale

Salut Cédric,

  C'est toi qui as raison :
[tex]0\leq X\leq n\implies -np\leq X-np\leq n(1-p)\implies -\frac{\sqrt{np}}{\sqrt {1-p}}\leq Z\leq \frac{\sqrt{n(1-p)}}{\sqrt p} [/tex].

Fred.

PS : Ce serait vraiment bien si tu pouvais te mettre au code Latex ou utiliser l'éditeur d'équation. Ton message est très difficilement lisible.

freddy

Membre chevronné

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Messages : 7 457

Re : loi binomiale

Salut,

tout à fait d'accord avec Fred.

Toutefois, je pressens que l'auteur du livre dont tu parles veut préparer le passage d'une loi binomiale vers une loi normale pour n assez grand, et la loi normale est symétrique.

Donc, il est aisé de compléter le travail de Fred (et le tien) vers celui de l'auteur en remarquant que :

soit [tex](1-p) \le p[/tex] et alors [tex]-np\leq X-np\leq n(1-p) \le np \implies -\sqrt{\frac{np}{1-p}}\leq Z\leq \sqrt{\frac{np}{1-p}} [/tex]

ou [tex]p \le (1-p)[/tex] et alors [tex] -n(1-p) \le -np\leq X-np\leq n(1-p) \implies -\sqrt{\frac{n(1-p)}{p}}\leq Z\leq \sqrt{\frac{n(1-p)}{p}} [/tex].

Pour finir, je plussoie Fred : stp, code avec latex, ça pique vraiment les yeux :-)))

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.