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dh8

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convergence

Bonjour,
soit une suite [tex]u_n[/tex] t.q [tex]u_n[/tex] converge vers [tex]u[/tex] dans [tex]H^1_0(\Omega)[/tex] faible, et [tex]u_n[/tex] converge vers [tex]u[/tex] dans [tex]L^2(\Omega)[/tex] fort, et p.p [tex]x \in \Omega[/tex].
Soit [tex]g_n(x,u_n)[/tex] une fonction de Carathéodry, telle que
[tex]g(x,u)u\geq 0,\quad \forall u \in \mathbb{R},\quad \mbox{a.e} x \in \Omega[/tex]
[tex]|g(x,u)|\leq h_t(x),\quad \forall u; |u|\leq t, h_t \in L^1(\Omega), \forall t>0 \quad \mbox{fixed}[/tex]

Comment prouver que [tex]g(x,u_n)u_n[/tex] converge vers [tex]g(x,u)u[/tex] a.e [tex]\Omega[/tex] et[tex]g(x,u)u \in L^1(\Omega)[/tex]?
C'est l'utilisation du th. de Fatou qui me pose problème ici.

Merci d'avance.

Dernière modification par dh8 (05-04-2014 00:24:04)

dh8

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Re : convergence

Bonjour,
soit [tex]u_n[/tex] une suite uniformément bornée dans [tex]H^1_0(\Omega)[/tex], donc [tex]u_n[/tex] converge faiblement vers[tex] u[/tex] dans [tex]$H^1_0$[/tex], et fortement dans [tex]L^2(\Omega)[/tex] et p.p [tex]x \in \Omega[/tex].

Soit [tex]g(x,u)[/tex] une fonction de Carathéodory, telle que[tex] |g|\leq \dfrac{1}{n}[/tex] et telle que [tex]|g|\leq h_t(x), \forall u\in \R; |u|\leq t, h_t \in L^1(\Omega), \forall t\geq 0[/tex] fixé. et [tex]g(x,u)u \geq 0, \forall u\in \R[/tex] et p.p [tex]x \in \Omega[/tex].

La question est de montrer que [tex]g(x,u_n)u_n[/tex] converge fortement dans [tex]L^2(\Omega)[/tex] et p.p [tex]x \in \Omega[/tex] vers [tex]g(x,u).[/tex]

Puisque [tex]g_n[/tex] est de Carathéodory, donc continue par rapport à la seconde variable: [tex]g(x,u_n)[/tex] converge fortement dans [tex]L^2[/tex] et p.p [tex]x \in \Omega[/tex] vers [tex]g(x,u)[/tex] puisque [tex]u_n[/tex] converge fortement et p.p.

Ma question est: comment utiliser le lemme de Fatou pour déduire que [tex]g(x,u_n)u_n[/tex] converge fortement dans[tex] L^2(\Omega)[/tex] et p.p [tex]x \in \Omega[/tex] vers [tex]g(x,u)[/tex]?

Cordialement