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#26 14-12-2015 05:42:55

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

freddy a écrit :

Re,

pour le PTZ, ce doit être 14 ans de DA et 11 d'amortissement, non !?!

Salut !

Au temps pour moi, c'est bien 15+10. Depuis 2011, plus rien n'est stable dans ce produit. Je donnerai tout à l'heure les échéances lissées.


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#27 15-12-2015 07:42:12

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Bonjour,

je m'enduis la tête de cendres, il y a effectivement un petit sujet. J'avais retenu 14 ans de différé d'amortissement et 11 ans d'amortissement.
Dans le cas qui nous est soumis, et sous réserve que le montant du PTZ soit le bon, le sujet soulevé est intéressant, car il recèle une impossibilité logique.

En effet, durant les 10 dernières années, il faudrait pouvoir rembourser le PTZ et finir de rembourser le prêt principal. Or, un calcul rapide montre que cela impose que le prêt principal soit remboursé au bout de 15 ans, et non 25 ans.

En effet, l'échéance non lissée du prêt principal est égale à 479,69 € sur 25 ans, et celle du PTZ est égale à 888,83 € sur les 10 dernières années.
Le prêt 1 % patronal induit une échéance constante égale à 110,58 € sur 12 ans et le prêt patronal, une échéance d'un montant égal à 84,12 € sur 20 ans.

Sur 15 ans, l'échéance du prêt principal au même taux est égale à 710,0,2 €. Majorée des deux prêts complémentaires à taux onéreux, elle est égale à 904,72 € durant les douze premières années, à peine supérieure à celle du PTZ. Conclusion : c'est un faux problème :-) D'autant qu'en passant de 25 à 15 ans, le taux d'intérêt du prêt devrait être moindre.
Voilà pourquoi personne ne sait faire, il n'y a rien à faire ! Merci de m'avoir permis de le dire :-)

Remarque : le problème règlementaire est que la durée du PTZ ne peut excéder celle du prêt principal.

Pour résoudre ce sujet, il faudrait allonger la durée du prêt principal et/ou de réduire le montant du PTZ et/ou réduire la durée du différé d'amortissement du PTZ.

Dernière modification par freddy (15-12-2015 07:43:37)


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#28 15-12-2015 13:19:53

jpp
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

salut.

En ramenant le différé du PTZ à 12ans au lieu de 15ans , les échéances du PTZ se montent à 683.52 euros au lieu de 888.58 euros

en considérant que les 3 prêts secondaires ne génèrent aucune assurance,

la mensualité après lissage se monte à M = 913.34 euros

les 3 échéances concernant les 3 prêts lissés sont:

a) le prêt de 19209 euros  --> M1 = 84.123 euros

b) le prêt de 15000 euros  à 1% --> M2 = 110.59 euros

c)  le prêt à taux zéro de 106630 euros  -->  M3 = 683.52 euros. différé de 144 mois.(12 ans) remboursable sur 13 ans

     

le prêt principal (le prêt lisseur)  se montant à 105736 euros ; son intérêt à la première échéance est de: 229.10 e

  229.10 = C x t = C x I/12  = 105736 x 0.026/12  ( I = 0.026)

formule pour trouver Mlissé:   

                                           [tex]t = \frac{I}{12} = \frac{0.026}{12} = 0.00216666[/tex]

                                           [tex] C = 105736  [/tex]

[tex]Mlissé = \frac{C.t + M_1\times{\left[1 - (1+t)^{-240}\right]}  + M_2\times{\left[1 - (1+t)^{-144}\right]}  + M_3\times{(1+t)^{-144}}\times{\left[1 - (1+t)^{-156}\right]} }{1 - (1+t)^{-300}} = 913.34 euros [/tex]

[tex]913.34  = M + a.M1 + b.M2 + c.M3 = 479.69 + 0.8483 \times{84.123}  +  0.56067\times{110.585} + 0.43932\times{683.52}[/tex]

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#29 24-05-2016 22:05:11

Jonjon
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Bonjour,
Bravo pour toutes ces formules. Mais je me triture la tete a ne pas pouvoir trouver le bon resultat sous excel en repliquant la formule. Pourtant mon cas est simple : je simule un pret principal et un pret plus long, sans differe. Mais je retrouve toujours mon facteur "a" dans la formule Mlisse = M + a*M1 etant superieur a 1, ce qui ne me parait pas correct.
Quelqu'un pourrait-il ecrire les valeurs dans l'equation en considerant les caracteristiques suivantes?
Pret principal: 96 mois (=z), 100,000 euro (=C), taux 1.2% donc taux mensuel = 0.1% (=t). Mensualite Mp= 885 euro
Pret secondaire: 300 mois (=m1), 300,000 euro, taux 2.4% donc mensualite M1=1331 euro

Si Mlisse = Mp + a*M1 alors le facteur a = [1-(1+t)^-m1]/[1-(1+t)^-z]
a =  [1-(1+0.1%)^-300]/[1-(1+0.1%)^-96], ce qui est superieur a 1, non ?

Ou fais-je fausse route ? Qu'ai-je mal interprete ? Merci de votre aide.

#30 30-05-2016 07:02:15

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Salut,

il y a au moins deux erreurs dans ton exemple.
Tout d'abord, la première échéance est égale à 1.092,99 €, ensuite le prêt dit "lisseur" (j'ai horreur de ce terme) est celui dont le taux d'intérêt (ou la durée) est le plus élevé ; enfin, il faut bien "comprendre" le principe sous-jacent.
Ce dernier consiste à se demander quel serait le montant constant M à rembourser durant 300 mois permettant de s'acquitter de 1.092,99 €  + les intérêts sur le prêt le plus cher, savoir 300.000*2,4 % = 600 €, durant les 96 premiers mois, le reliquat devant rembourser le crédit le plus onéreux sur 300 mois.

Dans ton cas, on a M = 1.753,90 €.
Je te laisse vérifier.

Dernière modification par freddy (30-05-2016 07:02:54)


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#31 31-05-2016 22:01:06

jonjon
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

freddy a écrit :

Salut,

il y a au moins deux erreurs dans ton exemple.
Tout d'abord, la première échéance est égale à 1.092,99 €, ensuite le prêt dit "lisseur" (j'ai horreur de ce terme) est celui dont le taux d'intérêt (ou la durée) est le plus élevé ; enfin, il faut bien "comprendre" le principe sous-jacent.
Ce dernier consiste à se demander quel serait le montant constant M à rembourser durant 300 mois permettant de s'acquitter de 1.092,99 €  + les intérêts sur le prêt le plus cher, savoir 300.000*2,4 % = 600 €, durant les 96 premiers mois, le reliquat devant rembourser le crédit le plus onéreux sur 300 mois.

Dans ton cas, on a M = 1.753,90 €.
Je te laisse vérifier.


Merci Freddy.
Effectivement, pour la premiere mensualite, je pensais 96 mois et dans ma formule, en hypothese, j'ai mis 120 mois. Mea culpa !
Je retrouve egalement le 1753.90 avec la formule citee plus haut, mais surtout jai compris le mecanisme mathematique grace a ton guidage: le premier mois, je rembourse 600 euro d'interet sur le pret long. Le reliquat me permet de rembourser du capital. Cela me donne un nouveau capital restant du. Le deuxieme mois, je recalcule les interets sur ce nouveau capital pour une duree de 299 mois... Je retombe sur mes pas.
Merci beaucoup !

#32 01-06-2016 03:49:58

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Salut,

bravo, tu as tout compris ! Les outils mathématiques sont une chose, savoir s'en servir, une autre.


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#33 25-06-2016 19:13:04

Friedz
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Bonjour,

Je suis également très interessé par le sujet, mais je n'arrive pas à appliquer votre formule.
J'ai deux crédits. Un de 150 000 euros à 1.5% sur 7 ans et un à 250 000 euros à 2% sur 15 ans.
J'arrive à une mensualité de 1608.8 sur mon prêt le plus gros, et 1882.2 sur l'autre.
En appliquant la formule plus haut, Mlisse = Mp + a*M1 alors le facteur a = [1-(1+t)^-m1]/[1-(1+t)^-z
j'ai M = 1882.2+1608,8*((1-((1+D4)^-180))/(1-((1+D4)^-84))), soit 3191.9. Or sur cyberpêt j'obtiens 2557.44.

Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'éclairer sur l'erreur que je commet ? (j'imagine qu'il y en a plusieurs, je suis novice)

Cordialement,

Friedrich

#34 25-06-2016 19:18:51

Friedz
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

pardon pour le spam.
Je précise que 3191 est uniquement le résultat de ma multiplication. Mon M est donc 3191 +1882.2.
Si j'inverse mes exposants, j'obtiens =1608,8*((1-((1+D4)^-180))/(1-((1+D4)^-84))) soit 2693. Je suis encore assez éloigné du 2557...

Cordialement,
Friedrich

#35 25-06-2016 21:03:02

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Salut,

je confirme le résultat de cyberprêt. Je ne sais pas comment tu fais ton calcul. Pour moi, il faut trouver la mensualité m telle que :

[tex]250.000 = \sum_{k=1}^{180}\frac{m}{\left(1+\frac{2}{1200}\right)^k} - \sum_{k=1}^{84}\frac{1882{,}20}{\left(1+\frac{2}{1200}\right)^k}[/tex]


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#36 27-06-2016 12:56:36

Friedz
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Bonjour.
Avec votre formule je trouve m 2270 si k=1
Pour mon calcul au dessus d4 est le taux mensuel 0.02/12 et la formule est celle indiquée par jonjon. Je l'applique sûrement mal mais je ne sais pas d'où vient mon erreur
..

#37 27-06-2016 13:45:30

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Friedz a écrit :

Bonjour.
Avec votre formule je trouve m 2270 si k=1
Pour mon calcul au dessus d4 est le taux mensuel 0.02/12 et la formule est celle indiquée par jonjon. Je l'applique sûrement mal mais je ne sais pas d'où vient mon erreur
..

Re,

tu calcules mal, mon résultat est certain. Par contre, j'ai un peu de mal avec les formules que je n'ai pas (re)démontrées, dont celle que tu cites. Attendons jpp !


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#38 27-06-2016 15:27:54

Friedz
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Je me rends bien compte que je suis celui en tort !
ton calcul n'est-il pas =(180*2557/(1+D4))-(84*1882,2/(1+D4)) ? (d4 = 2 /1200)?

Je sais que j'ai fais une erreur encore, mais je n'arrive toujours pas à détecter laquelle !

Concernant le calcul de mon M lissé, j'ai repris la formule et j'ai finalement trouvé 2557 en reprenant la formule de JPP en 1ère page : =(250000*D4+1882,2*(1-(1+D4)^-84))/(1-(1+D4)^-180) ! (d4=0.02/12)

Je ne comprends pas la logique cette fois cependant : 1882,2*(1-(1+0.0016667)^-84) correspond à quoi concrètement ? en fait je ne comprends pas pourquoi on prend pour base 1882 alors qu'on veut savoir quel montant d'intérêt + capital du prêt le plus gros nous devons rembourser pour lisser le prêt ?

#39 27-06-2016 18:21:53

jpp
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

salut.

en plaçant les nombres à leur place .



[tex] \frac{250000 \times 0.0016667  + 1882.22 \times{(1 - 1.0016667^{-84})}}{1 - 1.0016667^{-180}} = 2557.44 euros[/tex]

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#40 04-07-2016 14:54:10

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

jpp a écrit :

salut.

en plaçant les nombres à leur place .



[tex] \frac{250000 \times 0.0016667  + 1882.22 \times{(1 - 1.0016667^{-84})}}{1 - 1.0016667^{-180}} = 2557.44 euros[/tex]

Merci l'ami :-)


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#41 26-07-2016 20:14:42

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Salut,

si on veut exprimer les choses simplement, l'échéance constante recherchée [tex]m[/tex] est celle qui amortit un crédit composé du montant principal [tex]M[/tex] du prêt au taux mensuel [tex]x[/tex] sur une durée [tex]n[/tex], majoré des valeurs présentes au taux mensuel [tex]x[/tex] des échéances des autres crédits.

Autrement dit, on a : [tex]M+\sum_{i=1}^p \left(\sum_{t=1}^{n_i} \frac{m_i}{(1+x)^t}\right)=\sum_{t=1}^n\frac{m}{(1+x)^t}[/tex], avec la contrainte qu'à chaque date, l'échéance résiduelle [tex]m - \sum_i^pm_i[/tex] soit supérieure aux intérêts échus et dus au titre du prêt principal.


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#42 10-12-2016 12:52:27

Tût-tûûût
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Bonjour !

Ayant un projet immobilier et besoin de voir ce que ça signifie d'avoir un taux de 1.3% ou 4%, j'ai codé rapidement un outil qui permet de visualiser la composition des mensualités d'un prêt (intérêt, amortissement) en fonction du temps. https://tut-tuuut.github.io/vizupret/

Je n'ai pas mis beaucoup de contrôles d'erreur et en termes de prêts secondaires je gère seulement le cas "prêt à taux zéro" mais ça répond à mon besoin.

Je le partage ici car j'ai sans vergogne repompé la formule de jpp pour le lissage de mensualité avec 2 prêts. Merci beaucoup. :)

Joyeuses maths, et à la prochaine !

#43 22-12-2016 12:38:33

Thomas29
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Bonjour,

Merci pour vos formules elles m'ont bien aidées dans un projet pour mettre en place un simulateur de prêt à taux zéro. J'ai cependant un cas particulier que je n'arrive pas à résoudre.

Prenons un exemple concret :
J'ai 2 prêts:
[*]Mon prêt principal de 125 000€ sur 20ans avec un taux de 2%[/*]
[*]Un prêt à taux zéro de 42 000€ sur 15ans[/*]

Le prêt à taux zéro se décompose en 2 phases :
[*]Un différé partiel sur 5 ans avec une mensualité de 100€ (6 000€ remboursés)[/*]
[*]La phase finale de remboursement avec une mensualité de 300€ sur les 10 années suivantes (36 000€ remboursés)[/*]

On se retrouve donc au final avec 3 phases :
[*]0 - 5ans : remboursement du prêt principal + différé partiel du PTZ[/*]
[*]5ans - 15ans : remboursement du prêt principal + phase finale du PTZ[/*]
[*]15 - 20ans : remboursement du prêt principal[/*]

La question étant : Comment faire pour lisser les mensualités sur le prêt principal ?

Merci d'avance pour votre aide !

#44 22-12-2016 13:35:38

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Salut,

applique la règle de calculs indiquées #41.


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#45 22-12-2016 14:34:27

freddy
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Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Re,

l'échéance totale hors assurance = $ 810{,}47 € $, à payer les 60 derniers mois (échéances numérotées de 181 à 240)
Entre le mois 1 et 60, tu as $100\;€$ pour le PTZ et $710{,}47\; €$ pour le prêt principal,
entre le mois 61 et 180, tu as $300\; €$ pour le PTZ et $510{,}47 \;€$ pour le prêt principal.

Dis moi si c'est bon, j'ai fait les calculs un peu de tête.


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#46 23-12-2016 00:17:54

Thomas29
Invité

Re : la formule mathématique de lissage de prêt.

Merci freddy, merci pour ton aiguillage j'ai pu trouver la solution, l me reste quelques ajustements à faire pour gérer des cas particuliers mais le plus dur est fait :)

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