Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 30-01-2014 18:26:41

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

l'aquarium

salut.


je possède un aquarium de forme  tronconique droit de 10 litres de capacité .

le fond c'est sa petite base .  j'y verse de l'eau  jusqu'au  2/3 de sa hauteur (intérieure) , puis je place dessus une plaque qui le rend étanche.

je retourne l'ensemble puis je le pose sur une table . Aucune fuite;  et constate que le niveau d'eau n'est plus qu'à mi hauteur dans  son contenant.

Question :  quelle quantité d'eau ai-je  versée  dans l'aquarium ?

                                                                                                  à plus.

Hors ligne

#2 30-01-2014 22:10:38

ymagnyma
Membre
Inscription : 06-10-2012
Messages : 412

Re : l'aquarium

Heu jpp, une question préalable me turlupine, deux en fait, comment tu fais pour nourrir ton poisson rouge, et d'ailleurs, y a t-il quelque chose dans ton aquarium tronconique retourné, qui au passage ferait monter le niveau de l'eau ?

Hors ligne

#3 01-02-2014 17:59:29

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

Re : l'aquarium

salut.

@ymagnyma   pas encore de poisson dans l'aquarium 

14020106023211431.png


  un dessin , ça parle mieux

voilà les 2 cas de figure  avec un réservoir tronconique droit de 10 litres de capacité .

Hors ligne

#4 01-02-2014 19:31:28

ymagnyma
Membre
Inscription : 06-10-2012
Messages : 412

Re : l'aquarium

Ah, merci jpp d'ainsi me déturlupiner, en plus, là, j'ai le neurone au repos, un claquage récent.
Je vais néanmoins tâcher de le réactiver demain, en douceur. A demain donc. Bonne soirée.

Hors ligne

#5 02-02-2014 14:44:00

ymagnyma
Membre
Inscription : 06-10-2012
Messages : 412

Re : l'aquarium

Merci, vraiment merci pour cette énigme jpp.
Ce ne sera pas pour ce soir, je suis parti dans des calculs, mais il va me rester la hauteur h, et je suppose que le résultat en est indépendant. Sans ce problème, j'obtiens un système de deux équations à deux inconnues, mais vraiment pas linéaire.
Et là, je suis vraiment très flemmard !

à suivre, bon dimanche ensoleillé, let the sunshine in comme ils disaient du temps des modérateurs du site, ahahahahahaha, (je vais me faire rembarrer par l'un d'eux qui va m'envoyer la solution, de tête, comme ils pratiquaient à l'époque ...)

Hors ligne

#6 03-02-2014 06:54:54

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : l'aquarium

Bonjour,

Prenant pour constante K le volume d'un cône de même petite base et de même hauteur que la forme tronconique
vous avez versé 5,874276473 litres ( K n'est pas demandé)

A+

Hors ligne

#7 03-02-2014 17:55:55

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

Re : l'aquarium

salut.

@totomm.  pourrais tu développer ?  la forme du tronc de cône n'est pas définie ; et il y a un nombre infini de formes tronconiques qui répondent aux trois critères de départ.

Hors ligne

#8 03-02-2014 18:46:11

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : l'aquarium

Bonsoir,

@jpp : A vous l'honneur de développer, mais dites quand même si mon résultat est exact.

J'ai bien vu que " la forme du tronc de cône n'est pas définie ; et il y a un nombre infini de formes tronconiques qui répondent aux trois critères de départ." y compris pour des formes obliques.

Ce pourqoi les 3 équations de départ se mettent sous la forme
[tex]V_{total} = K \times f1(t)\ et\ V_{eau} = K \times f2(t) = K \times f3(t)[/tex]   ( équations de degré 2 en t ).
avec K que j'ai cité et[tex] t=\frac{h}{g}[/tex] : h hauteur interne de la forme tronconique et g hauteur entre le sommet et la petite surface.
K a la dimension (physique) d'un volume et t est sans dimension.

A+

Hors ligne

#9 03-02-2014 18:49:40

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : l'aquarium

Salut,

même résultat que totomn (4 possibliltés trouvées), de la manière "brute épaisse" suivante :

1 - on nomme [tex]a[/tex] le grand rayon et [tex] b[/tex] le petit rayon du tronc de cône droit de révolution. On appelle [tex]h[/tex] la hauteur et [tex]h'[/tex] la hauteur complémentaire du cône droit de révolution de base circulaire de rayon [tex]a[/tex].

2 - l'énoncé indique que [tex]\frac{\pi\times h}{3}\times(a^2+b^2+ab)=10 [/tex] litres. Il nous indique aussi qu'il existe un rayon de longueur [tex]c[/tex] et un rayon de longueur [tex]d[/tex] compris entre les deux bases de la forme tronconique de telle sorte que :

[tex]\frac12 \times (a^2+d^2+ad)=\frac23 \times (b^2+c^2+bc)[/tex]

3 - un peu de trigonométrie permet d'écrire

[tex]c=(h'+\frac23 h)\times \tan \alpha[/tex]

[tex]d=(h'+\frac12 h)\times \tan \alpha[/tex]

[tex]a=(h'+h)\times \tan \alpha[/tex]

[tex]b=h'\times \tan \alpha[/tex]

donc [tex]h\tan\alpha=a-b,\; c=\frac{2a+b}{3},\; d =\frac{a+b}{2}[/tex]

4 - un ordinateur permet de conclure que le volume d'eau est égal à 5.87427 litres avec comme dimensions possibles de la forme tronconique :

[tex]a = 10,19\; b=7,13\; h=42[/tex]

[tex]a = 16,95\; b=11,86\; h=15,182[/tex]

[tex]a = 27,14\; b=18,99 \; h=5,92[/tex]

[tex]a = 54,28 \; b=37,98 \; h=1,48[/tex]

Dernière modification par freddy (03-02-2014 18:59:24)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#10 03-02-2014 19:17:52

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : l'aquarium

Bonsoir,

je peux donner mes 3 équations qui se résolvent ( pour t, puis K, puis V ) sur une simple calculette :

10=K(t²+3t+3)  V=K(8t²/27 + 4t/3 + 2)=K(7t²/8 + 9t/4 + 3/2)
( avec précédence des produits et quotients sur les + ) Une seule solution pour t qui soit positive.

Dernière modification par totomm (03-02-2014 19:21:32)

Hors ligne

#11 03-02-2014 19:56:34

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

Re : l'aquarium

re.

140203075257586320.png



résolution :

Un tronc de cône  est  la différence entre deux cônes de volumes V pour le plus grand et   v  pour le plus petit .

De plus , dans ce qui va suivre , tous les cônes utilisés ont même sommet et même conicité . On en conclut que leur hauteur et rayon de

base respectifs  sont proportionnels .

en effet:      [tex]\frac{r_1}{h_1}=\frac{r_i}{h_i}[/tex]

dans ce problème on va considérer  les 4 cônes suivants (voir le dessin ci dessus)   

[tex]v_3 = v + C[/tex]
[tex]v_2 = v + v_1[/tex]
[tex]v_0 = v + 10 = v_3 + v_2 - v [/tex]

[tex]v_1[/tex] est le volume du vide dans l'aquarium




d'autre part le volume d'un cône   [tex]v = \frac{\pi.r^2.h}{3} = \frac13\times{\frac{1}{\tan^2\alpha}.h^3} = c\times{h^3}[/tex]  ou c est une constante commune à tous ces cônes .


par hypothèse , je pose  H = 1  , H sera la hauteur de mon aquarium.  Il me faut maintenant calculer la hauteur a  du cône v

la hauteur d'eau sera  2/3  sur la figure de gauche  et  1/2  sur la figure de droite.

On peut donc écrire l'égalité suivante :   [tex](a+1)^3 = (a+\frac23)^3 + (a+\frac12)^3 - a^3[/tex]


il en résulte une équation du second degré : [tex]\frac{a^2}{2} - \frac{11}{12}.a - \frac{125}{216} = 0[/tex]



la racine positive[tex]  a = 2.3300616  [/tex]


a   est donc la hauteur du petit cône de volume v     , 1 est celle de l'aquarium .  le rapport des volumes du grand cône V0 = v + 10  et du petit cône v   donne :


[tex]\frac{v +10}{v} = \frac{(a+1)^3}{a^3}\Rightarrow v = \frac{10.a^3}{(1+a)^-a^3} = 5.2106733 = v[/tex]


C  étant le tronc de cône d'eau  à gauche  , on compare : v+C  et v 

[tex]\frac{v+C}{v} = \frac{(a+\frac23)^3}{a^3} \Rightarrow  C = v.\frac{(a+\frac23)^3 - a^3}{a^3} \approx 5.87427[/tex]

Dernière modification par jpp (03-02-2014 20:03:37)

Hors ligne

#12 03-02-2014 21:45:07

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : l'aquarium

Salut,

dis voir, jpierrepapin, finalement, nos réponses sont bonnes, non ? Tu peux confirmer, stp ? :-)))


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#13 04-02-2014 06:40:54

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : l'aquarium

Re,

dis voir, pépère, c'est quoi, cet angle [tex]\alpha[/tex]  ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante cinq moins trente cinq
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums