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#1 30-01-2014 18:26:41
- jpp
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l'aquarium
salut.
je possède un aquarium de forme tronconique droit de 10 litres de capacité .
le fond c'est sa petite base . j'y verse de l'eau jusqu'au 2/3 de sa hauteur (intérieure) , puis je place dessus une plaque qui le rend étanche.
je retourne l'ensemble puis je le pose sur une table . Aucune fuite; et constate que le niveau d'eau n'est plus qu'à mi hauteur dans son contenant.
Question : quelle quantité d'eau ai-je versée dans l'aquarium ?
à plus.
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#2 30-01-2014 22:10:38
- ymagnyma
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Re : l'aquarium
Heu jpp, une question préalable me turlupine, deux en fait, comment tu fais pour nourrir ton poisson rouge, et d'ailleurs, y a t-il quelque chose dans ton aquarium tronconique retourné, qui au passage ferait monter le niveau de l'eau ?
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#5 02-02-2014 14:44:00
- ymagnyma
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Re : l'aquarium
Merci, vraiment merci pour cette énigme jpp.
Ce ne sera pas pour ce soir, je suis parti dans des calculs, mais il va me rester la hauteur h, et je suppose que le résultat en est indépendant. Sans ce problème, j'obtiens un système de deux équations à deux inconnues, mais vraiment pas linéaire.
Et là, je suis vraiment très flemmard !
à suivre, bon dimanche ensoleillé, let the sunshine in comme ils disaient du temps des modérateurs du site, ahahahahahaha, (je vais me faire rembarrer par l'un d'eux qui va m'envoyer la solution, de tête, comme ils pratiquaient à l'époque ...)
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#8 03-02-2014 18:46:11
- totomm
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Re : l'aquarium
Bonsoir,
@jpp : A vous l'honneur de développer, mais dites quand même si mon résultat est exact.
J'ai bien vu que " la forme du tronc de cône n'est pas définie ; et il y a un nombre infini de formes tronconiques qui répondent aux trois critères de départ." y compris pour des formes obliques.
Ce pourqoi les 3 équations de départ se mettent sous la forme
[tex]V_{total} = K \times f1(t)\ et\ V_{eau} = K \times f2(t) = K \times f3(t)[/tex] ( équations de degré 2 en t ).
avec K que j'ai cité et[tex] t=\frac{h}{g}[/tex] : h hauteur interne de la forme tronconique et g hauteur entre le sommet et la petite surface.
K a la dimension (physique) d'un volume et t est sans dimension.
A+
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#9 03-02-2014 18:49:40
- freddy
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Re : l'aquarium
Salut,
même résultat que totomn (4 possibliltés trouvées), de la manière "brute épaisse" suivante :
1 - on nomme [tex]a[/tex] le grand rayon et [tex] b[/tex] le petit rayon du tronc de cône droit de révolution. On appelle [tex]h[/tex] la hauteur et [tex]h'[/tex] la hauteur complémentaire du cône droit de révolution de base circulaire de rayon [tex]a[/tex].
2 - l'énoncé indique que [tex]\frac{\pi\times h}{3}\times(a^2+b^2+ab)=10 [/tex] litres. Il nous indique aussi qu'il existe un rayon de longueur [tex]c[/tex] et un rayon de longueur [tex]d[/tex] compris entre les deux bases de la forme tronconique de telle sorte que :
[tex]\frac12 \times (a^2+d^2+ad)=\frac23 \times (b^2+c^2+bc)[/tex]
3 - un peu de trigonométrie permet d'écrire
[tex]c=(h'+\frac23 h)\times \tan \alpha[/tex]
[tex]d=(h'+\frac12 h)\times \tan \alpha[/tex]
[tex]a=(h'+h)\times \tan \alpha[/tex]
[tex]b=h'\times \tan \alpha[/tex]
donc [tex]h\tan\alpha=a-b,\; c=\frac{2a+b}{3},\; d =\frac{a+b}{2}[/tex]
4 - un ordinateur permet de conclure que le volume d'eau est égal à 5.87427 litres avec comme dimensions possibles de la forme tronconique :
[tex]a = 10,19\; b=7,13\; h=42[/tex]
[tex]a = 16,95\; b=11,86\; h=15,182[/tex]
[tex]a = 27,14\; b=18,99 \; h=5,92[/tex]
[tex]a = 54,28 \; b=37,98 \; h=1,48[/tex]
Dernière modification par freddy (03-02-2014 18:59:24)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#10 03-02-2014 19:17:52
- totomm
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Re : l'aquarium
Bonsoir,
je peux donner mes 3 équations qui se résolvent ( pour t, puis K, puis V ) sur une simple calculette :
10=K(t²+3t+3) V=K(8t²/27 + 4t/3 + 2)=K(7t²/8 + 9t/4 + 3/2)
( avec précédence des produits et quotients sur les + ) Une seule solution pour t qui soit positive.
Dernière modification par totomm (03-02-2014 19:21:32)
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#11 03-02-2014 19:56:34
- jpp
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Re : l'aquarium
re.
résolution :
Un tronc de cône est la différence entre deux cônes de volumes V pour le plus grand et v pour le plus petit .
De plus , dans ce qui va suivre , tous les cônes utilisés ont même sommet et même conicité . On en conclut que leur hauteur et rayon de
base respectifs sont proportionnels .
en effet: [tex]\frac{r_1}{h_1}=\frac{r_i}{h_i}[/tex]
dans ce problème on va considérer les 4 cônes suivants (voir le dessin ci dessus)
[tex]v_3 = v + C[/tex]
[tex]v_2 = v + v_1[/tex]
[tex]v_0 = v + 10 = v_3 + v_2 - v [/tex]
[tex]v_1[/tex] est le volume du vide dans l'aquarium
d'autre part le volume d'un cône [tex]v = \frac{\pi.r^2.h}{3} = \frac13\times{\frac{1}{\tan^2\alpha}.h^3} = c\times{h^3}[/tex] ou c est une constante commune à tous ces cônes .
par hypothèse , je pose H = 1 , H sera la hauteur de mon aquarium. Il me faut maintenant calculer la hauteur a du cône v
la hauteur d'eau sera 2/3 sur la figure de gauche et 1/2 sur la figure de droite.
On peut donc écrire l'égalité suivante : [tex](a+1)^3 = (a+\frac23)^3 + (a+\frac12)^3 - a^3[/tex]
il en résulte une équation du second degré : [tex]\frac{a^2}{2} - \frac{11}{12}.a - \frac{125}{216} = 0[/tex]
la racine positive[tex] a = 2.3300616 [/tex]
a est donc la hauteur du petit cône de volume v , 1 est celle de l'aquarium . le rapport des volumes du grand cône V0 = v + 10 et du petit cône v donne :
[tex]\frac{v +10}{v} = \frac{(a+1)^3}{a^3}\Rightarrow v = \frac{10.a^3}{(1+a)^-a^3} = 5.2106733 = v[/tex]
C étant le tronc de cône d'eau à gauche , on compare : v+C et v
[tex]\frac{v+C}{v} = \frac{(a+\frac23)^3}{a^3} \Rightarrow C = v.\frac{(a+\frac23)^3 - a^3}{a^3} \approx 5.87427[/tex]
Dernière modification par jpp (03-02-2014 20:03:37)
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