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#1 18-12-2013 16:36:33

LEG
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équivalence entre deux cribles

Bonjour
ma question concerne une relation d'équivalence entre deux crible de nombres premiers.
crible A  : nombre de premiers pour une limite X - 1 donnée, = Y
crible B :nombre de premiers pour une limite X - 1 donnée, = Y

le principe du criblage des deux crible est le même .

Pour A: on crible façon Eratosthène;  on part de [tex]P[/tex] un nombre premier , et on barre ses multiples tous les [tex]P[/tex] nombres soit:
[tex]P + n*P[/tex] = multiple de [tex]P[/tex]. puis on relève les premiers [tex]P, {et}, q[/tex] qui ne sont pas barrés

avec [tex]P <\sqrt {X}[/tex] dans les deux cribles ; et [tex]P  > 5[/tex] les multiples de 2, 3 et 5 étant déjà supprimés.

Pour B: on détermine si [tex]P' = n*p + r[/tex], donc on crible les premiers [tex]P'[/tex] et on garde [tex]P' \neq {n*p + r} [/tex].
puis [tex]X - P' = q[/tex] premier; avec P' appartenant à [7;31].

j'utilise la fonction du TNP : [tex]\frac{x}{ln.x}[/tex] pour estimer le nombre de premiers dans A.

Pour B ; j'estime le minimum de premiers [tex]P'[/tex]:
En estimant tout d'abord le nombre de premiers [tex]P'[/tex] qui vont être criblés soit :[tex]\frac{x}{ln.x} = Y[/tex]

puis en ré-estimant le nombre de P' qui ne seront pas pris par le crible, donc [tex]P' \neq {n*p + r} [/tex] ; soit :

[tex]\frac{Y}{ln.Y} = Z[/tex]
ce qui donne environ :
[tex]\frac{x}{ln².x} = Z[/tex].

peut on dire qu'il s'agit d'une relation d'équivalence minimum ...Puisque le nombre de premiers estimés dans B,  serra inférieur au nombre de premiers de A.....???

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#2 19-12-2013 11:57:32

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

Bonjour

Pour B ; j'estime le minimum de premiers [tex]P'[/tex]:
En estimant tout d'abord le nombre de premiers [tex]P'[/tex] qui vont être criblés soit :[tex]\frac{x}{ln.x} = Y[/tex]

puis en ré-estimant le nombre de P' qui ne seront pas pris par le crible, donc [tex]P' \neq {n*p + r} [/tex] ; soit :

[tex]\frac{Y}{ln.Y} = Z[/tex]
ce qui donne environ :
[tex]\frac{x}{ln².x} = Z[/tex].

il faut peut être que j'apporte une précision:
cette estimation est un nombre minimum de premiers qui reste après le criblage de la valeur de X donné. Pour chaque valeur de X déterminé, le crible B repart du début et recommence  son criblage contrairement à Eratosthène qui lui procède itérativement, pour une valeur X donné, et donc extrait l'ensemble des premiers d'un coup dont le nombre vaut [tex]\pi(x)[/tex].
Alors que pour le crible B , une fois le criblage terminé jusqu'à X  , de façon récursive (du moins si cela est un crible récursif) on aura effectivement un nombre de premier qui vaut aussi  [tex]\pi(x) - 1[/tex] .

ie: pour A et B [tex]\pi(x)-1[/tex] ; est identique. le crible B, lui avance par tranche de x'...jusqu'à X déterminé, alors que A lui avance et termine directement pour la valeur X déterminé, B est un peu moins rapide, mais va plus loin...

la fonction [tex]\frac{x}{ln².x} = Z[/tex] me permet d'affirmer que quelque soit la valeur x déterminé j'aurai toujours un minimum de premiers [tex]P' \neq{n*p+r}[/tex].
Car les [tex]P'[/tex] sont partagés dans les entiers criblés et ceux qui restent..alors que dans Eratosthéne, on a les multiples barrés, et dans les entiers qui restent les premiers...

En exemple pour [tex]X =120[/tex]:(on a déjà éliminé les 2m,3m, et 5m) on part de 7.

pour A: [tex]7+ n*7= 7m[/tex];  [tex]6*7 +7 ; 10*7+7 ; 12*7+7 et 16*7 +7[/tex].

pour B: (idem) mais on à déjà extrait les premiers [tex]< 90-1[/tex].
[tex]R = 4[/tex].
[tex]7+4 = 11[/tex] qui est un premier. donc éliminé..
[tex]11+ (6*7)[/tex] qui est aussi premier, éliminé ; [tex]11+ (8*7) > 120/2[/tex]. donc fin du crible.
on relève les [tex]p' < 60[/tex] stockés par le crible; et on enlève [tex]11 et 53[/tex]

reste pour cette tranche les [tex]P' < 60[/tex]:

[tex]7; 13; 17; 19; 23;29;31; 37;41; 43;47;et ,59 [/tex]

et bien évidement les premiers [tex]q [/tex]tel que : [tex]120 - P' = q[/tex]
11 et 53 font déjà partis des premiers déjà stockés, et on a bien au résultat final:

pour [tex]X = 120[/tex] la même valeur de [tex]\pi(x) - 1[/tex] dans les deux cribles, mais avec une estimation inférieur et minimale, pour la tranche X criblée dans B:
[tex]\frac {120}{ln²120}[/tex].

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#3 19-12-2013 19:21:06

yoshi
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Re : équivalence entre deux cribles

Bonsoir,

Là, j'avoue, je ne comprends pas ce que tu veux...
Qu'entends-tu par "relation d'équivalence" ?
Est-ce à prendre au sens propre (je ne crois pas) ?
Parce que, dans un ensemble E, une relation [tex] \mathcal R[/tex]  est dite relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive...

@+


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#4 20-12-2013 10:42:11

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

Bonjour yoshi
oui tu as raison je pose cette question car effectivement je n'arrive pas à définir cette relation avec la fonction du TNP (théorème des nombres premiers)
c'est pour cela que j'explique comment j'utilise cette fonction et comme tu peux le voir de deux façons.

1) les deux cribles sont équivalents. donc si je veux définir l'estimation du nombre de premiers pour X donnés ,  j'utilise la fonction du TNP simplement sans même avoir besoin de l'affiné...

2) par contre ce qui m'intéresse c'est la deuxième utilisation de cette fonction et uniquement pour le crible B .
où la je met le log nép au carré.

pour la raison que j'ai expliqué. Car dans ce crible je ne crible que des nombres premiers [tex]P'[/tex] soit ils sont de la forme :
[tex]n*p +r[/tex] donc pour moi au "sens figuré ils ne sont pas premiers" c'est comme si c'était des multiples de [tex]p[/tex] dans Eratosthène ...
Ce qui est quand même faux, disons que leur complémentaires C ne peuvent être en aucun cas premiers.
Alors que si les [tex]P'[/tex] ne sont pas de la forme [tex]n*p +r[/tex] leur complémentaires [tex]q[/tex] sont obligatoirement premiers.
et donc pour estimer ce nombre de premiers ou de couples [tex](P' + q)[/tex] j'utilise à nouveau la fonction [tex]\frac{Y}{ln y}[/tex] qui me donne une estimation minimum.
Pour moi c'est "équivalent" puisque je ne fais qu'estimer pour un nombre d'entiers déterminé, qui vaut [tex]Y[/tex] par cette fonction, et j'utilise à nouveau cette fonction sur [tex]Y[/tex], pour déterminer le nombre qui reste, et qui sont donc [tex]\neq{n*p + R}[/tex]...
d'où la formule du TNP mais modifiée : [tex]\frac {X}{ln² X}[/tex].
si tu veux le crible B n'est qu'une variante ou corolaire à Eratosthéne et" au TNP"....

pour être plus complet j'ai trois possibilités
a) tous les [tex]P'[/tex] ne sont pas pris par le crible donc ils [tex]\neq{n*p + R}[/tex], supposition absurde

b) les [tex]P'[/tex] sont dans les deux suites: de la forme [tex]n*p +r[/tex] et de la forme [tex]\neq{n*p + R}[/tex] Ce qui est vrai....

C)ils sont tous pris par le crible donc de la forme [tex]n*p +r[/tex] tout autant absurde que a); car les nombres premiers seraient répartis sous la forme de suites arithmétiques de raison 30, et localisables...

voila les arguments qui me permettent de justifier l'utilisation de cette fonction ("modifiée") du TNP, et donc qui caractérise Eratosthène....et par conséquent le crible B....

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#5 21-12-2013 13:10:40

yoshi
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Re : équivalence entre deux cribles

Bonjour,

où la je met le log nép au carré.

C'est de ça dont tu parles :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … s_premiers
Et le seul carré de log que j'y trouve est la mention de "l'écart logarithmique intégrale [tex]Li(x)^2[/tex]" qui renvoie ci :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme … C3.A9grale qui ne parle d'ailleurs pas de carré...

Mais j'ai toujours du mal à cerner ce que tu cherches.
Tu veux savoir si les deux tris sont "équivalents" : en terme d'efficacité nombre de premiers trouvés  ? estimés ? ou en terme de vitesse à efficacité égale ?

@+


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#6 21-12-2013 17:19:47

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

Bonjour
pour la première question non , je met le logarithme nep de X au carré , afin de connaître l'estimation de premiers P' relative au cas:

b) les P′ sont dans les deux suites et donc de deux formes: de la forme [tex]n∗p+r[/tex] et de la forme [tex]≠ n∗p+R [/tex]Ce qui est vrai....

la fonction modifiée  :  [tex]\frac{X}{ln²X} [/tex] .calcul justement le nombre de [tex]P' ≠ n∗p+R [/tex] c'est cette équivalence dont je parle, avec Eratosthène mais uniquement pour une tranche X fixée .

Le crible B fonctionne par tranche de [tex]30k[/tex] si je fixe [tex]X = 120[/tex], le crible passe par [tex]X = 60[/tex], [tex]X = 90[/tex] et [tex]X =120[/tex]  c'est pour cela que je met au carré la fonction de l'estimation de [tex]\pi(x)[/tex], car je crible des P' par tranche jusqu'à une limite X fixée;  Ce qui m'intéresse c'est : existe t'il une tranche où [tex]\frac{X}{ln²X} = 0 [/tex] il est évident que non... ai je le droit d'utiliser en gros cette équivalence...puisque le crible par tranche, est remis à zéro...?

c'est pour cela que j'ai indiqué qu'il y a uniquement trois cas possibles.:

a) tous les P′ ne sont pas pris par le crible donc ils [tex]≠n∗p+R[/tex] , supposition absurde

b) les P′ sont dans les deux suites: de la forme [tex]n∗p+r[/tex] et de la forme [tex]≠ n∗p+R[/tex] Ce qui est vrai....

C)ils sont tous pris par le crible donc de la forme [tex]n∗p+r [/tex]tout autant absurde que a); car les nombres premiers seraient répartis sous la forme de suites arithmétiques de raison 30, et localisables...

il y a aussi une raison qui se vérifie au cas B)...assez simple à expliquer..

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#7 21-12-2013 17:36:25

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

la raison qui m'a fait utiliser cette fonction d'estimation modifiée par rapport au TNP, vient du fait que dans le crible B je ne crible que des nombres premiers qui sont stocké au fur et à mesure que le crible progresse....
donc pour une quantité de premiers criblé combien il m'en reste..? même si je connais le nombre exact avant chaque nouvelle valeur criblée, il n'en reste pas moins vrai que je peux l'estimer et justement avec la fonction du TNP.. C'est la particularité de ce crible..

En terme de quantité [tex]\pi (x)[/tex] ou d'estimation de [tex]\pi(x)[/tex], pour les deux tris....c'est identique à une unité près.

Bien sur que la question que tu te doutes: est ce que cette estimation est toujours vraie? et pourquoi le serait elle...?
même si elle est testé jusqu'à plus de [tex]10^{18}[/tex]..

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#8 21-12-2013 19:18:06

yoshi
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Re : équivalence entre deux cribles

Bonsoir,

Je vois mieux.
Ça demande une preuve irréfutable ou un contre-exemple montrant que c'est faux...
Quelle est la taille maximum des entiers avec lesquels tu peux travailler ?
[tex]10^{18}[/tex] paraît grand mais, moyennant une astuce pour travailler avec des entiers, j'ai pu calculer le nombre d'or avec 20000 décimales.
En ce qui concerne les entiers, Python n'est limité que par la taille de la RAM de la machine sur laquelle il est installé...
Cela dit, je pense que si contre-exemple il y avait, il n'y en aurait pas qu'un et probablement que tu l'aurais trouvé...

Reste à montrer que c'est toujours vrai ce qui risque de n'être pas de la tarte...
Et ça demandera du temps !
Je me pencherai dessus quand j'en aurai terminé avec les problèmes du télépointeur...

@+

Dernière modification par yoshi (21-12-2013 19:26:53)


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#9 21-12-2013 21:26:53

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

je te remercie , mais j'ai vu que tu avais un bon problème avec le télépointeur...bon courage .
je vais te joindre le pourquoi je pense que c'est démontrable...assez simplement.
En général avec les cribles j'atteins environ 450 000 000 .
mais je sais que la fonction est juste, car le travail sur lequel je suis, à été testé et vérifié jusqu'à [tex]\10^{18}[/tex]

pour démontrer qu'il ne peut exister une valeur X qui infirmerait cette fonction, il faut effectivement s'appuyer sur le fonctionnement du crible.
pour les trois cas possibles. On suppose que le cas: a) est vrai. Donc :[tex]\frac{X}{Ln².X}= 0[/tex]et comme cette possibilité est absurde la fonction est fausse, pour quelque soit X.

On en déduit une erreur:


Lorsque l’on crible les [tex]P’[/tex] dans le crible [tex]B[/tex], on peut se limiter uniquement aux 8 premiers appartenant à [tex] [7 ;31] [/tex] pour une limite X fixée.
Mais quelque soit X :
Le crible B lui, il crible les [tex]P’[/tex] appartenant à [tex] [7 ; X/2] [/tex].
Or quelque soit cette valeur X, qui est déterminée à un multiple de 30. On a d’une part la certitude que :
[tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}\neq {0}[/tex] avec au final [tex]\pi (X)[/tex] qui vaut environ [tex]\frac{X/2}{Ln X/2}[/tex] et plus généralement si X est la limite fixée du crible ;
on a l’estimation finale qui vaut:
[tex]\frac{X}{Ln X}[/tex] 

Mais on sait aussi que l’égalité :
[tex]P’ =  n*p + r[/tex] revient à vérifier si [tex] P’\equiv {r} [p] [/tex].

Or le reste r, change à chaque nouvelle valeur de X traité, car le crible repart de zéro, alors que les modulos [tex]p_i[/tex] sont toujours les mêmes et consécutifs ; ie : pour chaque nouvelle valeur de X ; on a les mêmes plus 1 ou 2 ou 3 en gros…mais < 8 de toutes façons.
Ce qui implique la supposition suivante :
Par ex :
Pour [tex]X = 180[/tex], ma fonction [tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}\neq {0}[/tex]
est toujours vraie.
Je suppose que [tex]X + 30[/tex] est faux, donc que le résultat serait [tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}= {0}[/tex]. Cela veut dire que les mêmes premiers P’ qui sont de la forme : [tex]P’ =  n*p + r[/tex] pour X

Sont de la même forme [tex] avec un reste r[/tex]  qui n’est plus le même pour [tex]X +30[/tex] ; alors que ce sont toujours les même modulos[tex]p_i[/tex] avec peut être un ou deux modulo [tex]p_i[/tex] en plus ce qui est absurde.
(«  Et ce sont les même P’ qui sont criblé plus un ou deux…en gros, ceux qui sont compris entre [tex]X – 1[/tex]   et [tex]X + 15[/tex]..Puisqu’ils appartiennent à :
[tex] [7 ; X/2][/tex] »)

Donc on en déduit, qu’il ne peut exister un X tel que : [tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}= {0}[/tex]

Voila pour qu’elle raison dans les trois cas possible : le cas a) et c) est absurde.
C'est-à-dire que si [tex]P’= n*p_i + r_i[/tex] pour un [tex]X [/tex]
fixé, alors ce même [tex] P’\neq n*p_i + r’_i[/tex] pour [tex]X+ 30[/tex]

Et quand bien même il existerait un modulo [tex] p_i[/tex] autre que le précédent dans la limite des modulo [tex] p_i < \sqrt{X + 30}[/tex], ils ne peuvent être tous pris par ce criblage, car ils sont largement supérieurs en nombre, par rapport aux mod [tex] p_i[/tex] … !

Exemple [tex] X = 180[/tex]  [tex]p_i = 7 ; 11 ; 13 [/tex] et les restes de [tex]180[/tex] [tex]par[/tex] [tex]p_i[/tex],[tex]= 5 ;  4 ; 11 [/tex]
Les [tex]P’[/tex] appartiennent à [tex][7 ; 90][/tex]
L’estimation de P’ à cribler est : [tex]\frac{90}{Ln.90} = 21[/tex] et l’estimation de [tex] P’\neq n*p_i + r’_i[/tex]  serra donc : [tex]\frac{90}{Ln².90} = 4[/tex]

Exécution du crible sans les 2m ;3m ; et 5m:
7*2 + 5  = 19 ; 19 + 28 = 47 ; 47 +14 = 61; 61 + 28 = 89 fin pour [tex]p_i = 7[/tex].
11*3 + 4 = 37 ; 37 + 22 = 59 ; fin pour [tex]p_i = 11[/tex].
11 + 2*13 = 37 ; 37 + 52 = 89 ; [tex]p_i = 13[/tex].

On a donc les [tex]P’ = n*p_i + r_i[/tex] : 11 qui est un reste [tex]r_i[/tex], et : 19 ; 37 ;47 ; 59 : 61 ; 89
Soit 7 premier P’ sur un réel de 21, et une estimation minimale de 4 au lieu de 14

Supposition que pour [tex]X + 30 = 210[/tex] il n’y en ai aucun, supposition absurde, car les restes ne peuvent être les mêmes !
Exemple :
[tex] X = 210[/tex]  [tex]p_i = 7 ; 11 ; 13 [/tex] ce sont les même car[tex]\sqrt {210} < 17 [/tex], et les restes [tex]r_i[/tex],de [tex]210[/tex][tex]par[/tex][tex]p_i[/tex],[tex]= 0 ; 1 ; 2[/tex]
Les [tex]P’[/tex] appartiennent à [tex][7 ; 105][/tex]
L’estimation de P’ à cribler est : [tex]\frac{105}{Ln.105} = 22[/tex] et l’estimation de [tex] P’\neq n*p_i + r’_i[/tex]  serra donc : [tex]\frac{105}{Ln².105} = 4[/tex]
("on peut d'ailleurs majorer l'estimation en appliquant directement sur 22 :[tex]\frac{22}{Ln.22} = 7[/tex]

Exécution du crible :

Pour [tex]p_i = 7[/tex], le criblage est fini car le reste = 0, donc [tex]p_i = 7[/tex]est barré.
2*11 + 1 = 23 ; 23 + 44 = 67 ; 67 + 22 = 89  fin pour [tex]p_i = 11[/tex].
3*13 + 2 = 41 ; 41 + 26 = 67 ; fin du crible.
On a donc les [tex]P’ = n*p_i + r_i[/tex] : 7 ; 23 ; 41 ; 67 ; 89
Soit 4 premier P’ sur un réel de 24, et une estimation minimale de 4 au lieu de 19

On en déduit que la fonction serra toujours vraie et qu’elle donnera bien un minimum de couples [tex]p’ + q > 0[/tex] tel que :[tex]X – p’ = q[/tex]

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#10 21-12-2013 21:34:17

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

Sont de la même forme avecunrester   qui n’est plus le même pour X+30

lire :
Sont de la même forme avec des restes [tex]r_i[/tex]  qui ne sont plus les mêmes pour [tex]X +30[/tex]

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#11 03-01-2014 11:38:27

LEG
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Re : équivalence entre deux cribles

tous mes voeux de réussite pour 2014 , et plein de bonne chose.

pour en revenir à cette fonction yoshi


Pour [tex]X = 180[/tex], ma fonction [tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}\neq {0}[/tex]
c'est à dire que le résultat est toujours vrai.

Je suppose que [tex]X + 30[/tex] le nombre de[tex] P’\neq n*p_i + r’_i[/tex] = 0, le résultat de la fonction[tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}[/tex]est faux et infirme la validation de cette formule.
Cela veut dire que les mêmes premiers [tex]P’[/tex] qui sont de la forme : [tex]P’ =  n*p_i + r_i[/tex] pour X

Sont de la même forme avec un reste[tex]R_i[/tex] qui n’est plus le même pour [tex]X +30[/tex] ie: pour [tex]30(k+1)[/tex] ; alors que ce sont toujours les même modulo[tex]p_i[/tex] .

("On retrouve d'ailleurs le principe de la démonstration d'Euclide pour l'infinité de premiers dans les entiers en progression arithmétique de raison 30.
On suppose le nombre de premiers finis, on fait le produit X de tous ces nombres premiers > 5, et on rajoute 30; aucun premier > 5 ne peut diviser 30, donc ne peuvent diviser X + 30 , il est par conséquent premier.
Dans le cas contraire, il existe un premier > au dernier premier de cet ensemble de premiers, qui divise X + 30....etc ")

Donc on en déduit, qu’il ne peut exister un X tel que le nombre de couple :[tex]P' + q \neq {0}[/tex] et [tex]\frac{X/2}{Ln²X/2}[/tex] est vrai.

En définitive tous les nombres premiers [tex]P'[/tex]qui ont été barrés, de la forme :[tex]n * p_i + R_i[/tex] se trouvent libérés pour le criblage de [tex]x = 30(k+1)[/tex].
de plus, comme ils s'agit de familles de premiers en progression arithmétique de raison 30, et que l'on sait que la répartition des nombres premiers ne se fait pas en progression arithmétique de raison [tex]P_i * 30[/tex]; dans l'hypothèse où cette fonction du TNP serait infirmé; alors on aurait une contradiction: car il faudrait justement que les nombres premiers soient en progression de raison [tex]P_i * 30[/tex].

En effet en partant des 8 premiers [tex]P_i [/tex] [tex][7;31][/tex] , pour faire simple, il faut que les 8 premiers [tex]P' = n * p_i + r_i[/tex][tex][7;31][/tex] et donc dans les 8 familles, tous les premiers [tex]> 31[/tex] soit de la forme [tex]P' + P_i * 30[/tex] afin que tous les P' soient congrus à [tex]30(k+1)[/tex] modulo [tex]P_i[/tex] ce qui est absurde...!
Ce qui justifie largement l'utilisation du TNP pour estimer un minimum de [tex]P’\neq n*p_i + r_i[/tex] quelque soit X et qui caractérise ce crible, n'ayant fait l'objet d'aucune étude....

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