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#1 13-12-2013 22:05:01

Yassine
Membre
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Polygone des milieux

Bonjour à tous,
Un petit problème (qui m'a été posé par un collègue).
On part d'un polygone quelconque et on construit le polygone dont les sommets sont les milieux des côtés du polygone de départ, et on répète l'opération à l'infini.
Est-ce que ce processus converge, et si oui, vers quoi ?

La solution se trouve bien sûr sur le net (je suis toujours émerveillé par le changement radical dans le partage du savoir qu'apporte Internet),  essayez donc un remue méninges avant [tex]10^{100}[/tex] (aka Gogol)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#2 15-12-2013 12:19:17

tibo
Membre expert
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Messages : 1 097

Re : Polygone des milieux

Salut,

une intuition...

Intuitivement, je dirai que ça converge vers un point qui doit être le centre de gravité de ce polygone.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 15-12-2013 12:50:55

Yassine
Membre
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Re : Polygone des milieux

Salut,

@tibo

En effet, c'est bien vers l'isobarycentre que ça converge.
Deuxième étape : montrer que c'est bien le point de convergence.


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#4 15-12-2013 14:39:20

tibo
Membre expert
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Re : Polygone des milieux

Re,

quelques idées

Je pense qu'on peut montrer montrer sans trop de difficulté que la suite des polygones obtenus ont tous même centre de gravité (par récurence)
Puis en montrant que l'aire tant vers 0, on en déduit le résultat.

Pour être bien rigoureux, il faudrait l'écrire, mais je pense que les idées sont là.

Dernière modification par tibo (15-12-2013 15:18:30)


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#5 15-12-2013 14:47:05

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
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Re : Polygone des milieux

Re

@Tibo

Il est en effet facile de montrer que l'isobarycentre est stable.
Il n'est cependant pas évident, du moins ça ne l'a pas été pour moi, de montrer que l'aire converge vers 0. Il ne faut pas oublier que le polygone est quelconque, et donc pas forcément convexe.
Donc, a ce stade, je considère que ta réponse n'est pas encore complète.


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#6 15-12-2013 15:58:44

jdec
Invité

Re : Polygone des milieux

Bonjour,

Il suffit de constater que le périmètre décroît...(un nouveau côté est plus petit que la somme des deux moitiés du polygone précédent)

#7 15-12-2013 18:04:34

jpp
Membre
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Messages : 1 105

Re : Polygone des milieux

salut.
131215060043445408.png

chaque point milieu d'un segment se voit affecté des coefficients de ces 2 points . Donc les sommets du second polygone ont pour coefficient 2 , le suivant a des sommets de coefficient 4 ,  et le nième a des sommets de coefficient 2n-1

ça se densifie donc .   On dirait que les points finissent sur une ellipse parce que j'ai tracé un cercle passant par les 2 points les plus éloignés , et les 4 derniers points sont à l'intérieur de ce cercle.

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#8 15-12-2013 18:28:32

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Polygone des milieux

jdec a écrit :

Bonjour,

Il suffit de constater que le périmètre décroît...(un nouveau côté est plus petit que la somme des deux moitiés du polygone précédent)

Certes, le périmètre décroit. C'est une suite positive et décroissante, elle converge donc. On ne peut par contre rien dire de sa limite (à part qu'elle positive ou nulle).


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#9 15-12-2013 18:59:59

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Polygone des milieux

jpp a écrit :

salut.
131215060043445408.png

chaque point milieu d'un segment se voit affecté des coefficients de ces 2 points . Donc les sommets du second polygone ont pour coefficient 2 , le suivant a des sommets de coefficient 4 ,  et le nième a des sommets de coefficient 2n-1

ça se densifie donc .   On dirait que les points finissent sur une ellipse parce que j'ai tracé un cercle passant par les 2 points les plus éloignés , et les 4 derniers points sont à l'intérieur de ce cercle.

Salut,
Ci-après un exemple intéressant :
13121507004917035611820480.gif
On voit que le polygone obtenu, à une homothétie près, est exactement le même que le polygone de départ. ça permet d'illustrer la diversité des cas.


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#10 16-12-2013 00:11:29

jdec
Invité

Re : Polygone des milieux

Bonjour,

@Yassine : Pour une démonstration cliquer ici

En milieu de page on trouve :
"…that is all the vertices  of the polygon [tex]M^p(a)[/tex]
converge  for [tex] p \mapsto \infty[/tex] to the isobarycenter of the n vertices of polygon a.
It is easy to get an estimation of this convergence…"

#11 16-12-2013 08:53:30

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Polygone des milieux

Bonjour,

@jdec : c'est en effet la démonstration qu'il y a sur le net. J'ai néanmoins trouvé une "solution" un peu moins compliquée que celle-ci (et moins bien formalisée !). Je ne suis néanmoins pas sûr de mon résultat. Je la posterai ici plus tard pour avoir vos points de vue avisés.


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#12 17-12-2013 22:05:23

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Polygone des milieux

Bonsoir,
En essayant de formaliser ma solution, je me suis rendu compte qu'elle était incorrecte (je partais avec la même idée que jdec sur le périmètre, et je pensais à tort avoir trouvé un bon majorant pour le périmètre)
Je n'ai donc malheureusement pas de solution plus simple que ce qui est proposé dans le lien donné par jdec (réponse ici également, en français).
Je pense que je n'aurais pas posé cet exo si j'avais repéré mon erreur avant (la solution utilisant les matrices circulantes et la diagonalisation me parait trop complexe pour cette rubrique).

Désolé.


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#13 18-12-2013 17:04:54

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Polygone des milieux

Bonjour,

Comme G est l'isobarycentre fixe des n sommets [tex]A_i[/tex] à la kième itération, et que [tex]\sum{\vec{GA_i}}=0[/tex],
je prends le demi-périmètre comme majorant du plus grand des [tex]\vec{GA_i}[/tex], et sans formaliser plus,
je conjecture que tous les [tex]A_i[/tex] tendent vers le point G, qui ne peut être qu'intérieur au contour convexe des [tex]A_i[/tex],
puisque le périmètre sera rendu aussi petit que l'on veut (il diminue sans pouvoir rester stable).

Et je n'ai pas honte de cette conjecture...

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#14 19-12-2013 21:52:32

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Polygone des milieux

totomm a écrit :

Bonjour,

Comme G est l'isobarycentre fixe des n sommets [tex]A_i[/tex] à la kième itération, et que [tex]\sum{\vec{GA_i}}=0[/tex],
je prends le demi-périmètre comme majorant du plus grand des [tex]\vec{GA_i}[/tex], et sans formaliser plus,
je conjecture que tous les [tex]A_i[/tex] tendent vers le point G, qui ne peut être qu'intérieur au contour convexe des [tex]A_i[/tex],
puisque le périmètre sera rendu aussi petit que l'on veut (il diminue sans pouvoir rester stable).

Et je n'ai pas honte de cette conjecture...

Il ne s'agit pas d'une conjecture mais d'un fait démontré (vu que les points convergent vers l'isobarycentre, alors le périmètre converge vers zéro). J'avais pris un approche similaire dans ma (mauvaise) solution. Je reprends le début si jamais ça inspirait quelqu'un (je ne met pas mon erreur, je n'en suis pas fier):
[tex][/tex]
Je note [tex]a_i,b_i[/tex] les longueurs du polygone de départ et d'arrivé après une étape, avec la convention [tex]a_{n+1}=a_1, b_{n+1}=b_1[/tex]. Je note également [tex]\theta_i[/tex] l'angle entre les côtés [tex]i[/tex] et [tex]i+1[/tex]. On a alors [tex](2b_i)^2 = a_i^2 + a_{i+1}^2 - 2a_i a_{i+1}cos\theta_i[/tex]. En sommant, ça donne [tex]\Sigma b_i^2 = \frac{1}{2}\Sigma a_i^2 - \frac{1}{2}\Sigma a_i a_{i+1}cos\theta_i[/tex], ou encore, en réarrangeant les termes [tex]\Sigma b_i^2 = \Sigma a_i^2 - \frac{1}{2}\Sigma (a_i^2 - a_i a_{i+1}cos\theta_i)[/tex]. On voit donc apparaître la somme quadratique des longueurs, qui décroit d'un terme [tex]X=\frac{1}{2}\Sigma (a_i^2 - a_i a_{i+1}cos\theta_i)[/tex]. J'ai cherché en vain à trouver un bon minorant pour ce terme. Les [tex]\theta_i[/tex] sont reliés entre eux par une relation du type [tex]\Sigma \theta_i = (n-2)\pi[/tex] (où on aura pris, dans le cas d'un angle supérieur à [tex]\pi[/tex] le complémentaire [tex]2\pi-\theta_i[/tex]). Le cas défavorable est celui des points alignés, dans ce cas, les angles valent [tex]\pi[/tex] à l'exception de deux angles qui seront nuls. c'est cette contrainte/propriété que je n'arrive pas à concrétiser pour trouver un minorant.


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