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Bill

Invité

[Résolu] séries entières

séries entières

Bonjour,

on considère une fonction f définie de C dans C développable en somme de série entière, de rayon de convergence réel strictement positif. On suppose de plus que la fonction est bien définie en tout point du cercle de convergence. Sous quelles conditions peut-on affirmer qu'il existe un disque de convergence de rayon strictement supérieur?

Si on considère un arc de cercle du cercle de convergence, f est bien définie et continue sur cet arc. On cherche ici une condition pour, en un point du cercle de convergence, dire que f est en fait continue sur une boule de centre ce point et de rayon suffisamment petit. En réitérant ce procédé à l'ensemble des points du cercle de convergence, on obtient une infinité d'ouverts qui recouvrent le disque de convergence qui est un compact, et donc avec le théorème de Borel Lebesgue, on peut trouver un sous recouvrement fini d'ouverts, prendre le rayon minimal de ce nombre fini de boules, et on aura alors agrandi le disque de convergence en un disque plus grand.

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Toujours sur les séries entières.. Si quelqu'un connait la démonstration de ce théorème, ou un lien internet utile, je serai ravi qu'il m'en fasse part!

On considère f de C dans C définie comme somme de série entière (sum (an*z^n , n=0..infinity))

On suppose que :
lim( f(x)=L , x->1 avec x<1), où L est un réel.
n*an->0

Montrer que la série de terme général an converge et vaut L.

Indication: considérer vn= f(1-1/n) - sum(ak,k=0..n)
(J'ai écrit décomposé cette somme en deux sommes, la première allant de 0 à n et la seconde de n à +infinity. C'est la première qui me pose pb)

Merci pour votre aide

EDIT Galdinx : J'ai déplacé cette conversation dans la bonne rubrique et j'ai supprimé les 2 autres qui faisaient double-emploi.

Dernière modification par galdinx (14-11-2006 22:56:21)

Fred

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Re : [Résolu] séries entières

Bonjour,

  Il s'agit du théorème taubérien (faible) : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … erien.html

Pour la démonstration, tu majores la première somme en utilisant :
[tex](1-1/n)^k\leq k/n[/tex]
(ce qui découle immédiatement de l'inégalité des accroissements finis),
puis tu la majores par
[tex]\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n k|a_k|[/tex]
Il résulte des hypothèses et du théorème de Césaro que ceci tend vers 0 qd n va à l'infini...