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#1 11-11-2006 15:53:00
- Lilinette
- Membre
- Inscription : 11-11-2006
- Messages : 7
Théorie des groupes
Bonjour,
j'ai un problème pour faire une partie d'exercice et surtout pour rédiger. Voilà la question :
Soit G un groupe fini.
Si x<>e vérifie x²=e on considère, pour tout u appartenant à G, les parties Bu = {u, xu}. Si u<>v, comparez
Bu et Bv. En déduire que s'il existe un élément d'ordre 2 dans G alors |G| est pair.
Est-ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la voie.
Merci d'avance pour votre aide.
Hors ligne
#2 11-11-2006 22:54:42
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Théorie des groupes
Bonsoir,
Supposons que v soit élement de Bu. On a donc v=xu. Alors xv=u et donc Bv=Bu. Ceci montre
que Bv=Bu ou Bu et Bv sont disjoints.
Pour montrer que le cardinalde G est pair, essaie d'écrire G comme réunion disjointe de parties Bu,
ou bien directement, ou bien en utilisant une relation d'équivalence...
F.B.
Hors ligne
#3 20-11-2006 09:58:46
- Lilinette
- Membre
- Inscription : 11-11-2006
- Messages : 7
Re : Théorie des groupes
Merci pour cette explication mais je ne vois pas pourquoi G est une union disjointe des parties Bu et Bv.
Une fois qu'on trouve cela, il est facile de montrer que g est pair car c'est la somme d'ensembles de cardinal pair plus deux ensembles à cardinal 1.
Pourriez-vous ainsi m'expliquer pourquoi Bu et bv forment une partition de G.
Merci encore
Hors ligne
#4 27-11-2006 13:28:22
- Abdou
- Invité
Re : Théorie des groupes
salut;
d'abord il n'y a pas d'ensemble Bu d'ordre 1!
on cosidére par ex la relation d'equi :u~v ssi Bu=Bv.
on vérifie facilement que ~ est une relation d'equivalence.
soit P le sous-ensemble de G qui contient un seul représentant de chaque classe d'equivalence.
Alors G=U Bu.
u€P
finalement |G|= 2 card(P).
d'accord Lilinette
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