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#1 11-11-2006 15:53:00

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Théorie des groupes

Bonjour,

j'ai un problème pour faire une partie d'exercice et surtout pour rédiger. Voilà la question :

     Soit G un groupe fini.
     Si x<>e vérifie x²=e on considère, pour tout u appartenant à G, les parties Bu = {u, xu}. Si u<>v, comparez         
     Bu et Bv. En déduire que s'il existe un élément d'ordre 2 dans G alors |G| est pair.


Est-ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la voie.
Merci d'avance pour votre aide.

Hors ligne

#2 11-11-2006 22:54:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Théorie des groupes

Bonsoir,

  Supposons que v soit élement de Bu. On a donc v=xu. Alors xv=u et donc Bv=Bu. Ceci montre
que Bv=Bu ou Bu et Bv sont disjoints.
Pour montrer que le cardinalde G est pair, essaie d'écrire G comme réunion disjointe de parties Bu,
ou bien directement, ou bien en utilisant une relation d'équivalence...

F.B.

Hors ligne

#3 20-11-2006 09:58:46

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Re : Théorie des groupes

Merci pour cette explication mais je ne vois pas pourquoi G est une union disjointe des parties Bu et Bv.

Une fois qu'on trouve cela, il est facile de montrer que g est pair car c'est la somme d'ensembles de cardinal pair  plus deux ensembles à cardinal 1.

Pourriez-vous ainsi m'expliquer pourquoi Bu et bv forment une partition de G.

Merci encore

Hors ligne

#4 27-11-2006 13:28:22

Abdou
Invité

Re : Théorie des groupes

salut;
d'abord il n'y a pas d'ensemble Bu d'ordre 1!
on cosidére par ex la relation d'equi :u~v ssi Bu=Bv.
on vérifie facilement que ~ est une relation d'equivalence.
soit P le sous-ensemble de G qui contient un seul représentant de chaque classe d'equivalence.
                    Alors         G=U Bu.
                                        u€P
finalement  |G|= 2 card(P).
                                       d'accord Lilinette

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