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#1 18-05-2013 11:30:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Tétraèdre orthocentrique

Bonjour,

Trouvé dans une publication de l'IREM (Institut de Recheches et d'Études Mathématiques) :

Si dans un tétraèdre, les trois paires d'arêtes opposées sont orthogonales, alors les hauteurs sont concourantes.
Cette activité peut être traitée au niveau Terminale, mais met en jeu des raisonnements utilisant des théorèmes d’incidences assez difficiles à manier.
Un tel tétraèdre est appelé orthocentrique.

Qui s'y colle ?

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#2 18-05-2013 15:37:49

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Tétraèdre orthocentrique

Bonjour,

succinctement

Succinctement, mais un vrai plaisir...

par hypothèse : [AB] orthogonal à [CD],  [AD] orthogonal à [BC]
(on montrera qu'alors [AC] est orthogonal à [BD])

Le théorème des 3 perpendiculaires étant utilisé intensivement :
1) A se projette orthogonalement sur (BC) en M : [BC] est orthogonal au plan ADM, d'où
Si A se projette en [tex]A_1[/tex] sur le plan BCD et si D se projette en [tex]D_1[/tex] sur le plan ABC, alors
[tex](AA_1)\  et\ (DD_1)[/tex] sont dans le plan ABM, hauteurs du triangle ADM et se coupent en H.

2) C se projette en N sur (AB) et [tex]D_1[/tex] est sur (CN) puisque [AB] orthogonal à [CD],
[tex]D_1[/tex] est l'orthocentre du triangle ABC ainsi [tex](BD_1)[/tex] est orthogonal à [AC]
donc [AC] orthogonal au plan [tex]BDD_1[/tex] , donc [AC] est orthogonal à [BD]

on ré-utilise la démonstration 1) en permutant les rôles de B et C.
ainsi H est le point de rencontre de 3 hauteurs du tétraèdre issues de A, D et C. idem pour la 4ème hauteur issue de B.

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#3 18-05-2013 17:26:55

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Tétraèdre orthocentrique

re,

bien entendu il faudrait aussi démontrer la réciproque

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#4 31-01-2015 06:59:09

Patrice Debart
Invité

Re : Tétraèdre orthocentrique

Voir dans Descartes et les mathématiques : Tétraèdre avec GeoGebra 3D

Cordialement

#5 31-01-2015 09:28:20

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Tétraèdre orthocentrique

Bonjour,

Merci de ta visite et de ton info...
Coïncidence ou pas ? Parce que je t'ai cité dans ce topic : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 246#p50246

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