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Yassine

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Enigmes mathématiques du Monde n°4 : les allumettes

La 4ème jeu de la série est tombé.
Il s'agit d'une jeu qui se joue à deux.
On dispose les allumettes en 3 groupes. Les deux joueurs jouent a tour de rôle.
chaque joueur peut prendre autant d'allumettes qu'il le souhaite mais d'un seul groupe. La gagnant est celui qui prend la (ou les) dernière(s) allumette(s).
On considère la configuration 6,5,4. Y a-t-il un ordre dans le démarrage qui garantisse la victoire (premier ou second) et quelle serait alors la stratégie à suivre pour gagner à coup sûr.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

yoshi

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Re : Enigmes mathématiques du Monde n°4 : les allumettes

Bonsoir;

▼Des souvenirs remontent à la surface

Ce jeu est une variante d'un jeu de Nim, enfin je crois.
Lycéen, j'avais fait une étude exhaustive d'une variante à 4 groupes : 7,5,3,1 avec la même règle...
J'étais arrivé à la conclusion qu'entre deux joueurs connaissant tous deux la stratégie et ne commettant pas d'erreur, celui qui commence perd.
Pour retarder l'échéance, celui qui commençait ne devait prélever qu'une seule allumette entre les groupes 7,5 et 3...
Tout autre choix permettait au joueur en 2nd de placer une solution gagnante (mon étude ne reposait pas sur le binaire)
Ici, on ne doit pas être bien loin.
Je suis certain qu'entre deux joueurs connaissant la stratégie et ne commettant pas d'erreur, le résultat final est connu d'avance...
"Mon" jeu a aussi été désigné longtemps sous le nom de "Jeu de Marienbad", parce que je crois me souvenir, qu'il est apparu dans le film "L'année dernière à Marienbad" d'Alain Resnais.
Je vais me pencher sur ta variante demain.
La bonne stratégie doit être de calculer en binaire...
On verra.

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

jpp

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Re : Enigmes mathématiques du Monde n°4 : les allumettes

salut.

▼c'est le jeu de nim

il faut effectivement travailler en binaire , écrire les quantités par tas en binaire et faire un tableau . ex.  6 , 5 & 4

[tex]\begin{cases}6&->1-1-0\\5&->1-0-1\\4&->1-0-0\end{cases}[/tex]

dans ce cas , le jeu est en position impair , car au moins une des colonnes totalise un nombre impair de 1.
un jeu est en position paire quand toutes les colonnes totalisent un nombre pair de 1

si je commense à jouer je m'arrange pour mettre le jeu en position paire en retirant 3 allumettes du tas de 5 qui donne le tableau:
[tex]\begin{cases}6&->1-1-0\\2&->0-1-0\\4&->1-0-0\end{cases}[/tex]

par la suite , mon adversaire ne peut que le laisser en position impaire. Je n'ai alors plus qu'à le remettre en position paire et au bout du jeu, laisser 2 tas de une allumette ; ainsi il n'a plus le choix . il doit prendre une allumette et me laisser la dernière.

Dernière modification par jpp (21-04-2013 09:37:35)

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du Monde n°4 : les allumettes

Salut,

je vois que nous avons les presque mêmes souvenirs :-)

Je vais voir si jpp a aussi les mêmes.

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

yoshi

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Re : Enigmes mathématiques du Monde n°4 : les allumettes

Re,

▼Ainsi que j'ai déjà dit, je me sers pas du binaire (trop banal, même si plus rapide)...

"Effectivement" a dit jpp, il abonde donc dans mon sens et il m'a donc lu...
Moi aussi, j'ai passé outre son spoiler, et je vais vous donner des réponses originales qui ne traînent pas partout sur le net !

Celui qui commence gagne soit presque tout de suite (position gagnante rapide : enlever 5 à 6) soit en bataillant un peu plus

Donc, voici, mes résultats adaptés de mes recherches d'il y a 50 ans...
1. Le joueur qui réussit à placer le triplet 1,1,1 gagne...
2. Le joueur qui réussit à placer une paire de 2,2 à 5,5 gagne.
3. Placer la structure 3,2,1 (ordre sans importance) gagne.
    En effet de cette structure, on repasse soit au point 1., soit au point 2.
4. Placer la structure 5,4,1 (ordre sans importance) gagne.
    En effet de cette structure, on repasse soit au point 1., soit au point 2, soit au point 3.

Ainsi, on voit que celui qui commence :
* Ne peut se permettre d'éliminer une ligne --> permet une paire
* Ne peut se permettre d'enlever 1 ou 2 allumettes à 6 ---> permet une paire
* Ne peut se permettre de placer 5,4,3 ; 5,4,2 ou 4,3,2 sous peine de perdre.
   Cas de 5,4,3 --> enlever 1 ou 2 à 5 permet 4,4 ou 3,3
                     --> enlever 3 à 5 permet 3,2,1
                     --> enlever 4 à 5 permet le triplet 1,1,1

                     --> enlever 1 à 4 permet la paire 3,3
                     --> enlever 2 ou3 à 4 permet 3,2,1

   Cas de 5,4,2 --> enlever 1 à 2 permet d'arriver au point n°4 gagnant
   Cas de 4,3,2  --> enlever 1 ou 2 à 4 permet une paire 3,3 ou 2,2
                      --> enlever 3 à 4 autorise 3,2,1

                     --> enlever 1 à 3 autorise la paire 2,2
                     --> enlever 2 à 3 autorise 3,2,1

                     --> enlever 1 à 2  autorise 3,2,1
           -----------------------------------------------------------------------------
Donc, que peut faire de non immédiatement compromettant celui qui commence ?
                     --> enlever 1 ou 2à 6 permet 5,5  ou 4,4 et perd.
                     --> enlever 3 à 6 c'est placer l'adversaire face à 5,4,3 et lui donner le gain un peu plus tard
                     --> enlever 4 à à 6 permet 1,5,4 à l'adversaire et perd
                     --> enlever 5 à 6 et mettre l'adversaire face à 1,5,4  : gagne !

                     --> enlever 1 à 5 --> autorise 4,4 à joueur2 après et joueur 1 perd
                     --> enlever 2 à 5 --> Passage à 6,3,4.  Si joueur2 enlève 1 à 6, joueur 1 réplique enlevant 2 à 3 : 5,1,4 et gagne
                                                                           Si joueur2 enlève 2 à 6, joueur1 réplique enlevant 3 à 3 : 4,4 et gagne
                                                                           Si joueur2 enlève 3 à 6, joueur 1 réplique enlevant 4 à 4 : 3,3 et gagne
                                                                           Si joueur2 enlève 4 à 6, joueur1 réplique enlevant 3 à 4 : 3,2,1 et gagne
                                                                           Si joueur2 enlève 5 à 6, joueur1 réplique enlevant 2 à 4 : 1,3,2 et gagne
                                                                        MAIS
                                                                           Si joueur 2 enlève 1 à 3 --> 6,2,4 et joueur 1 perd puisque s'il place
                                                                            * 5,2,4 alors j2 enlève 1 à 2 --> 5,4,1 et gagne
                                                                            * 4,2,4 alors j2 enlève 2 à 2 --> 4,4 et gagne
                                                                            * 3,2,4 alors j2 enlève 3 à 4 --> 3,2,1 et gagne
                                                                            * 2,2,4 alors j2 enlève 4 à 4 --> 2,2 et gagne
                                                                            * 1,2,4 alors j2 enlève 1 à 3 --> 1,2,3 et gagne

                                                                            * 6,1,4 alors j2 enlève 1 à 6 --> 5,1,4 et gagne

                                                                            * 6,2,3 alors j2 enlève 5 à 6 --> 1,2,3 et gagne
                                                                            * 6,2,2 alors j2 enlève 6 à 6 --> 2,2 et gagne

                    --> enlever 3 à 5  --> Passage 6,2,4.   Si j2 enlève 1 à 6 il permet 5,1,4 et j1 gagne
                                                                          Si j2 enlève 2 à 6, il permet 4,4 et j1 gagne
                                                                          Si j2 enlève 3 à 6, il permet 3,2,1 et j1 gagne
                                                                          Si j2 enlève 4 à 6, il permet 2,2 et j1 gagne
                                                                          Si j2 enlève 5 à 6, il permet 1,2,3  et j1 gagne

                                                                          Si j2 enlève 1 à 2, il permet 5,1,4 et j1 gagne

                                                                          Si j2 enlève 1 à 4, il permet 1,2,3  et j1 gagne 
                                                                          Si j2 enlève 2 à 4, il permet 2,2  et j1 gagne
                                                                          Si j2 enlève 3 à 4, il permet 3,2,1  et j1 gagne

                    --> enlever 4 à 5  --> Passage 6,1,4.   j2 enlève 1 à 6 arrive à 5,1,4  : j2 gagne

                    --> enlever 1 à 4 --> Passage 6,5,3.   Si j2 enlève 1 à 6 il permet 5,1,4 et j1 gagne

and so on...

@+

[EDIT]
Avec : le perdant enlève la dernière allumette.
Je viens de relire Yassine. C'est le contraire avec lui.
Désolé.

Dernière modification par yoshi (21-04-2013 20:07:47)

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yoshi

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Re : Enigmes mathématiques du Monde n°4 : les allumettes

Bonsoir,

J'y vais de mon petit résumé...

▼Voilà, voilà

Départ 6,5,4
                            J1 enlève 5 a 6 (1,5,4)
Ensemble des suites possibles
1. J2 enlève la ligne de 5 ou la ligne de 4 : J1 enlève 4 ou 5 et laisse 1.

2. J2 enlève 1 à 1  (5,4)   
    J1 enlève 1 à 5 (4,4) et là,
                                 J2 enlève une ligne : J1 enlève 3 sur 4
                                 J2 enlève 3 sur 4 : J1 enlève la ligne de 4.
                                 J2 enlève 1 ou 2 : J1 enlève 1 ou 2 sur l'autre ligne et
                                                                                                       J2 se retrouve tôt ou tard devant (2,2)
                                                                                                       et J1 gagne
                                           
3. J1 enlève 1 à 5  (1,4,4)        
    J1 enlève 1 à 1 (4,4) et là
                                voir ci-dessus

4. J2 enlève 2 à 5 (1,3,4)
    J1 enlève 2 à 4 (1,3,2) et là
                                   J2 enlève 1 à 1 (3,2) : J1 enlève 1 à 3 (2,2) et a gagné.
                                   J2 enlève 1 à 3 (1,2,2) : J1 enlève 1 à 1 (2,2) et a gagné.
                                   J2 enlève 2 à 3 (1,1,2) : J1 enlève 1 à 2 (1,1,1) et a gagné.
                                   J2 enlève 3 à 3 (1,2) : J1 enlève 2 à 2 (1) et a gagné.
                                   J2 enlève 1 à 2 (1,3,1) : J1 enlève 2 à 3 (1,1,1) et a gagné.

5. J2 enlève 3 à 5 (1,2,4)
   J1 enlève 1 à 4 (1,2,3) : même scenario qu'au point 4. J1 gagne.

6. J2 enlève 4 à 5 (1,1,4)
   J1 enlève 3 à 4 (1,1,1) et a gagné.

7. J2 enlève 1 à 4 (1,5,3)
   J1 enlève 3 à 5 (1,2,3) : même scenario qu'au point 4. J1 gagne.

8. J2 enlève 2 à 4 (1,5,2)
   J1 enlève 2 à 5 (1,2,3) : même scenario qu'au point 4. J1 gagne.

9. J2 enlève 3 à 4 (1,5,1)
   J1 enlève 4 à 5 (1,1,1) et a gagné.

Donc en jouant au 1er coup 6-5--> (1,5,4), J1 gagne dans tous les cas de figure...

Ce n'est pas un jeu "ouvert" au départ !

@+

[EDIT]
Avec : le perdant enlève la dernière allumette.
Je viens de relire Yassine. C'est le contraire avec lui.
Désolé.

Dernière modification par yoshi (21-04-2013 20:08:12)

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