Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 17-04-2013 19:33:04

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Encore un sujet sur les enfants

Bonjour,
Petite récréation pour nous reposer du paradoxe des deux enfants :
Un pays décide de réguler les naissances selon la règle suivante : Chaque couple aura le droit et devra avoir un garçon. Donc, un couple se reproduira jusqu'à avoir un garçon, et s'arrêtera. Par ailleurs, un enfant qui naît a autant de chance d'être un garçon qu'une fille.
On part initialement avec une population composée d'autant d'hommes que de femmes (adultes et enfants).
Comment évoluent les proportions d'hommes et de femmes de cette population ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#2 18-04-2013 02:00:12

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Encore un sujet sur les enfants

Salut,

à tout hasard

Telle que formulée, la loi de probabilité qui gouverne le nombre d'enfants dans un famille - composée d'un père et d'une mère, tous les deux en état de se reproduire - est géométrique de paramètre [tex]\lambda=\frac12[/tex]. L'espérance mathématique du nombre d'enfants sous cette loi est égale à [tex]\frac{1}{\lambda}=2[/tex]. Puisqu'on sait que la famille s'arrête de faire des enfants dès qu'elle a le garçon, on déduit qu'en espérance, la famille est composée de 4 personnes : papa, maman, fifille et junior. Donc la proportion d'hommes et de femmes (adultes et enfants) reste la même.
Bien entendu, ça n'exclut pas de voir des familles avec un seul enfant - l'héritier - , comme des familles composées de 8 filles puis un garçon ...

Sauf erreur ...


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#3 18-04-2013 06:56:14

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Encore un sujet sur les enfants

@freddy

Résultat tout à fait exact. La loi est effectivement géométrique (premier succès d'une loi Bernouli).
Cela étant, on peut recourir au seul "bon sens" pour arriver à la même conclusion

[EDIT] : Est-ce que ta réponse est : la proportion reste la même en espérance ou la proprtion reste la même ?

Dernière modification par Yassine (18-04-2013 07:05:39)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#4 18-04-2013 08:42:01

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Encore un sujet sur les enfants

Re,

@yassine

en moyenne, la proportion reste la même !

Nesosson, ce n'est pas pour toi, mais pour yassine :-)))


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#5 18-04-2013 09:21:13

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Encore un sujet sur les enfants

@freddy

OK.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#6 02-05-2013 07:36:42

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Encore un sujet sur les enfants

Une réponse de bon sens

On peut remarquer que sur un nombre de naissances donné, la proportion de garçons et de filles est en moyenne de 50%. Donc, sur 100 naissances, on aura (en moyenne) 50 garçons et 50 filles. La population croit avec des apports qui contiennent (en moyenne) autant de garçon que de filles. La proportion d'hommes et de femmes restera donc stable.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#7 02-05-2013 08:19:56

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Encore un sujet sur les enfants

Yassine a écrit :
Une réponse de bon sens

On peut remarquer que sur un nombre de naissances donné, la proportion de garçons et de filles est en moyenne de 50%. Donc, sur 100 naissances, on aura (en moyenne) 50 garçons et 50 filles. La population croit avec des apports qui contiennent (en moyenne) autant de garçon que de filles. La proportion d'hommes et de femmes restera donc stable.

Salut,

Ah non, ce n'est pas ce que j'appelle une réponse de bon sens, puisque tu utilises une observation dont, sauf si ma mémoire me trahit, on ne sait pas si elle est intègre la contrainte que tu donnes.

Si, à un moment donné, on décide que les familles ne peuvent plus avoir d'enfant après un garçon, il faut démontrer le résultat, et pas s'appuyer sur une observation faite avant que la contrainte ne s'exerce. Suis je assez clair ?


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#8 02-05-2013 09:06:16

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Encore un sujet sur les enfants

freddy a écrit :

Si, à un moment donné, on décide que les familles ne peuvent plus avoir d'enfant après un garçon, il faut démontrer le résultat, et pas s'appuyer sur une observation faite avant que la contrainte ne s'exerce. Suis je assez clair ?

Non, pas très clair.
Indépendamment des raisons qui poussent un couple à faire un enfant, quand l'enfant nait, il a autant de chances d'être un garçon qu'une fille.
Partons à un instant [tex]t0[/tex] donné d'une population [tex]P_{t0}=H_{t0}+F_{t0}, \ H_{t_0} \approx F_{t_0}[/tex]. Appliquons toutes les contraintes (couple sans enfants ou couples avec des filles uniquement), on identifie un nombre de couples éligibles [tex]X_{t0}, X_{t0} \leq H_{t0}[/tex]. Ces couples vont avoir des enfants. Sur ces enfants [tex]\frac{X_{t0}}{2}[/tex] seront des garçons et [tex]\frac{X_{t0}}{2}[/tex] seront des filles en moyenne (je supposent que tous les couples ont des enfants, mais ce n'est pas important, on peut introduire un taux d'échec dès lors qu'il est indépendant du sexe de l'enfant). La population croit donc selon le schéma [tex]H_{t1} \approx H_{t0} + \frac{X_{t0}}{2}[/tex] et [tex]F_{t1} \approx F_{t0} + \frac{X_{t0}}{2}[/tex], donc [tex]F_{t1} \approx H_{t1}[/tex].

Dernière modification par Yassine (02-05-2013 09:24:10)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#9 02-05-2013 12:10:07

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Encore un sujet sur les enfants

Re,

je vais tâcher de l'être plus : si on se base sur la population fournie par 'énoncé (qui indique qu'il y a autant de personnes en vie de sexe masculin et de sexe féminin ), on ne peut pas pour autant en déduire que la loi imposant aux familles de n'avoir q'un seul garçon ne changera en rien ce délicat équlibre.

Donc on doit supposer que donner la vie à un XX ou à un XY est un événement équiprobable ; on ne peut pas le déduire de l'observation du groupe d'individu fourni par l'énoncé.

Donc l'argument de bon sens = le raisonnement mathématique expliqué "pour les nuls" ;-)) ... (avec en outre une hypothèse sur l'égalité des chances à la naissance, qui n'est pas vérifiée au plan statistique - il nait en effet plus de garçon que de fille, mais la légère surmortalité masculine fait qu'après 50 ans, il y a un peu plus de femmes que d'hommes survivant pour chaque génération considérée).


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#10 02-05-2013 12:49:10

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Encore un sujet sur les enfants

freddy a écrit :

Donc on doit supposer que donner la vie à un XX ou à un XY est un événement équiprobable ; on ne peut pas le déduire de l'observation du groupe d'individu fourni par l'énoncé.

Je ne demande pas de déduire cette probabilité du fait qu'initialement, il y a autant de mâles que femelles. Elle est donnée par l'énoncé :

Yassine a écrit :

Par ailleurs, un enfant qui naît a autant de chance d'être un garçon qu'une fille.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le deuxième mot de cette phrase?

Pied de page des forums