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#1 02-02-2013 22:44:58

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

lieux dans un triangle

Bonjour

Je vois qu'il n'y a pas beaucoup de propositions pour la géométrie.
Voici un problème plus facile.

ABC est un triangle dans lequel AC>AB.

D € [AB] et E € [AC] tels que AE =  BD

N est le milieu de [DE] et M le projeté orthogonal de A sur la médiatrice de [ED].

Déterminer les lieux de M et N quand D décrit [AB].

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#2 03-02-2013 12:06:21

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : lieux dans un triangle

Bonjour,

Lieu de M

Soit D" le milieu de AB et E" sur [AC] tel que AE"=AD"=BD" (le triangle AD"E" est isocèle)
DD"=EE" car :
si D est sur [BD"] alors E est sur [AE"] et (BD"-BD)=(AE"-AE)
si D est sur [AD"] alors E est sur [CE"] et (AD"-AD)=(AE-AE")

Soit C le cercle circonscrit au triangle AD"E" et F le point d'intersection de ce cercle C avec la bissectrice de l'angle BAC.
Les triangles rectangles FD"D et FE"E sont égaux car FD"=FE" et D"D=E"E
donc FD=FE. ainsi la médiatrice de ED passe par le point fixe F.
Le point M décrit une partie du cercle C puisque le triangle rectangle AMF admet AF comme hypoténuse.

Vraiment peu de candidats pour la géométrie...
A+ cordialement

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#3 03-02-2013 22:40:35

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : lieux dans un triangle

Bonsoir ou Bonjour

OK mais pour déterminer exactement le lieu de M, on peut utiliser une transformation qui envoie [BD] sur [AE].

A++

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#4 04-02-2013 09:16:00

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : lieux dans un triangle

Bonjour,

Donc à vous de transformer, sans omettre le lieu de N...

Cordialement

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#5 04-02-2013 21:48:24

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : lieux dans un triangle

Bonsoir

Pour N , j'ai pensé à une transformation I : M associe N (une bijection de préférence, ça évite une réciproque)

A++

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#6 18-02-2013 22:02:14

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : lieux dans un triangle

Bonsoir

Pour terminer cet exercice, je précise que la transformation est bien sûr une rotation de centre F (diamètralement opposé à A sur le cercle AD"E") .(notation de totomm)
L'ensemble des points M est un arc de ce cercle dont D"E" est une corde .
En utilisant l'inversion de centre F et de puissance FD"², M et N s'échangent de sorte que le lieu de N est le segment D"E"

A+

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