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#1 20-01-2013 10:46:27

soso
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Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Bonjour à tous,

Dans mon cours et dans les exercices fait en classe, il y a une formule que je ne comprends pas très bien. La voici :

[tex]sin(2x)=2sin(x).cos(x)[/tex]

Ma question: d'où sort le cosinus ? Pour moi, ça serait plutôt : [tex]sin(2x)=sin(x+2x)[/tex]

----------
Sinon, j'ai un autre problème.... je n'arrive pas à résoudre les équations trigonométrique sur des "intervalle précis"...
J'arrive à les résoudre sur IR mais quand c'est sur [tex][-\pi;\pi],[0;\pi/2][/tex]Je suis totalement perdue...je fais des petits cercles mais ça ne m'aide pas du tout ...

Voici des exemples d'équations que je n'arrive pas:

sin(x)= [tex]\frac{-\sqrt 2}{2}[/tex] sur [tex][-\pi;\pi][/tex]
sur [tex][0:\pi]...[/tex]

Pouvez-vous m'éclaicir svp ? Merci d'avance,

Sophie.

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#2 20-01-2013 11:13:08

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Bonjour Sophie.

Pour ta première question, il ne s'agit pas que la formule ait "l'air jolie", de nouveau, tu peux avoir l'intuition que ce serait bien si [tex]sin(2x)[/tex] était égal à [tex]2 sin(x)[/tex], ou [tex]sin(x+2x)[/tex], autrement dit, [tex]sin(3x)[/tex].  En gros tu trouves que [tex]sin(2x)=sin(3x)[/tex]. Pourquoi pas ... bof, dans tous les cas, teste.

Alors, d'où vient cette formule ? Très simplement des définitions de [tex]sin(x)[/tex] et [tex]cos(x)[/tex].

Quelles définitions ? (à quel niveau ?) En 1S, tu les as vu comme ordonnée et abscisse d'un point du cercle trigonométrique et la formule [tex]sin(2x)=2sin(x)cos(x)[/tex] comme application du produit scalaire, via [tex]cos(a+b)[/tex], dont on déduit sin(a+b) dont on déduit [tex]sin(2a)[/tex].

En terminale, tu vois une autre définition de [tex]sin(x)[/tex] et [tex]cos(x)[/tex] : [tex]sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex] et [tex]cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex].
De ces définitions découle directement [tex]sin(2x)=2sin(x)cos(x)[/tex].
(Fais le calcul [tex]2sin(x)cos(x)[/tex] tu verras bien).

Dernière modification par ymagnyma (20-01-2013 11:16:35)

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#3 20-01-2013 11:22:05

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Pour ton problème d'inéquation sur un intervalle donné, c'est étonnant ; qui peut le plus peut le moins, non ?
Autrement-dit, si tu connais toutes les solutions sur R, tu connais en particulier celles qui sont dans un intervalle donné.

Ainsi, si tes solutions sur R son {1, 2, 3, 4, 5, 6} et que tu cherches celles qui sont comprises, au sens large, entre -1 et 2, tu ne retiens que 1 et 2.

Une manière de le voir, sans le cercle, est de tracer la fonction sin uniquement sur l'intervalle où tu cherches les solutions.

Trace également la droite d'équation [tex]y = - \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] ; les abscisses des points d'intersection sont exactement les solutions.

Dernière modification par ymagnyma (20-01-2013 11:22:46)

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#4 20-01-2013 11:41:34

soso
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Bonjour :), merci pour votre réponse !

je voulais dire que ce serait bien si [tex]sin (2x)=sin(x+x)[/tex]

Je ne sais pas trop comment m'y prendre pour faire le calcul :S de [tex] sin(2x)=2sin(x)cos(x) [/tex]
Sinon, il y a d'autres formules comme ça  à connaitre ?? Je n'ai pas ça dans mon cahier de cours de 1ere S.


Pour les équation, je crois que je vais garder la méthode du cercle....


Bonne journée!

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#5 20-01-2013 12:01:42

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Le dessin qui va bien ; tu peux visualiser où sont les solutions que tu cherches.

130120121835648910.png

Dernière modification par ymagnyma (20-01-2013 12:13:34)

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#6 20-01-2013 12:04:05

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Pour les formules de trigo, tu les trouves là, sur cet excellent site : http://www.bibmath.net/formulaire/index … i=trigoadd

Dernière modification par ymagnyma (20-01-2013 12:11:24)

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#7 20-01-2013 12:08:45

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Pour sin(2x), soit tu le fais directement, avec une bonne astuce, soit tu reviens au cas plus général, sin(a+b), que tu appliqueras après coup pour a=b=x, soit enfin tu pars du résultat, avec les écritures exponentielles ; tu développes, tu rassembles.

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#8 20-01-2013 13:17:10

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Au post #4 tu dis que tu n'as aucune formule de trigo dans ton cahier de 1S ?

Tu as bien fait de la trigo quand même ? Non ?

Tu as du voir que, pour tous réels a et b,

[tex]cos(a + b)= cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)[/tex], (souvent démontrée via le produit scalaire).

De cette formule, on tire les formules suivantes :

[tex]cos(a - b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)[/tex] en remplaçant b par (-b) ;
et, [tex]cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)[/tex], en prenant b=a. ([tex]cos^2(a) veut dire (cos(a))^2[/tex]).

De même, on tire aussi,
[tex]sin(a+b)=sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)[/tex] et donc aussi,
[tex]sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)[/tex] et, le fameux [tex]sin(2a)=sin(a+a)=sin(a)cos(a)+sin(a)cos(a)[/tex], d'où :
[tex]sin(2a)=2 sin(a)cos(a)[/tex].

Dernière modification par ymagnyma (20-01-2013 13:17:38)

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#9 23-01-2013 21:17:27

soso
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Bonsoir et merci pour votre réponse, c'est plus clair^^ je vais faire des exos pour m'entrainer.

ymagnyma a écrit :

[tex]sin(a+b)=sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)[/tex] et donc aussi,
[tex]sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)[/tex] et, le fameux [tex]sin(2a)=sin(a+a)=sin(a)cos(a)+sin(a)cos(a)[/tex], d'où :
[tex]sin(2a)=2 sin(a)cos(a)[/tex].

Je m'en souviens , c'est les formules de duplications ,non?^^

ymagnyma a écrit :

Pour les formules de trigo, tu les trouves là, sur cet excellent site : http://www.bibmath.net/formulaire/index … i=trigoadd

Je savais pas qu'il y avait ça dans le site :O Mais pour les exos corrigés, ce n'est pas de mon niveau non?

Bonne soirée

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#10 24-01-2013 20:50:48

ymagnyma
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

De rien, de rien, j'ai moi-même eu un bon conseillé.

Et oui, ce site est une mine qu'il est bon d'explorer. Quand aux exercices, en effet, ils ne sont pour le moment, pour la plus part, pas (encore) de ton niveau, mais au rythme ou tu vas, ... et puis, après tout, tu ne risques rien à y jeter un coup d'oeil, le niveau, c'est finalement toi qui le place. Il n'y a pas que des exercices d'application qui servent à faire tourner une notion de cours, mais aussi, plus ouverts, plus plaisants, des exercices de recherche. (notamment dans le forum ; je dois admettre que ça vole souvent trop haut pour moi, mais je suis un peu balourd et surtout, mon imagination ne déborde pas vraiment).

Bref, à toi de te faire une opinion. Bonne soirée, bonne progression.

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#11 25-01-2013 11:31:20

imed1
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Bonjour,

pour sin2x, il existe une démo (basée sur l'angle au centre= 2xl'angle inscrit)

de même pour cos2x

je vous laisse chercher........

#12 25-01-2013 13:35:54

yoshi
Modo Ferox
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Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Bonjour,

je vous laisse chercher...

Ah ? Ah !
J'ai déjà trouvé ça : pour le cos(2x)
J'ai déjà gagné quoi ?
Et si je trouve l'autre aussi, mon cadeau sera-t-il plus grand ?
Une photo dédicacée de toi en personne ? :-D

Pour le sin 2x, comment dire, il faut "prendre de la hauteur" et travailler avec un cercle trigo, c'est plus simple...
Il faut encore ensuite généraliser...

C'est bon, j'ai gagné ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#13 25-01-2013 14:35:32

imed1
Invité

Re : Terminale S: Formule sorti de nulle part ?+ équations trigonométriques

Ah là, tu m'épates.

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