Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Le gateau d'anniversaire.

salut à tous.

6 étudiants sont invité par un septième pour un gateau d'anniversaire de forme parallépipède rectangle de largeur a, de longueur b et de hauteur c . j'étais le patissier de service. maintenant je dois couper en 7 parts sans faire de mécontents .
Le problème , c'est que je l'ai nappé de coulis de framboise sur la face supérieure ainsi que sur les 4 flancs. Je dois donc faire des parts ayant le même volume , mais aussi la même surface de coulis.

je suis bien embèté . pouvez vous m'aider à couper les parts en ne faisant que des sections selon des plans verticaux , le gateau restant bien évidemment sur un plan horizontal ?

amatheur

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut
@jpp, es ce que certains étudiant pourraient recevoir des parts divisées en plusieurs morceaux?

Dernière modification par amatheur (14-12-2012 23:39:00)

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J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

jpp

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Re : Le gateau d'anniversaire.

re.

@amatheur .   pas nécessairement , 7 parts suffisent.

amatheur

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut
jpp, j'avoue que je suis battu! j'ai essayé une dizaine de configurations, mais  je ne trouve pas de solutions sans avoir des conditions sur a, b et c, alors un petit coup de pouce en SPOIL serait le bien venu!
@+

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totomm

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Re : Le gateau d'anniversaire.

Bonjour,

Puisque amatheur appelle au secours :

▼ Proposition

Vu de dessus le gâteau est un rectangle ABCD dont AB = a est le plus grand coté et BC = b le plus petit.
Soit M le milieu de AB et N le milieu de CD
De part et d'autre de M on porte les points E et F tels que ME = MF = (a+b) / 7
Sur MN on porte le point G tel que MG = ab / (a+b)
C'est toujours faisable, quels que soient a et b (rappel : a >= b)

On découpe la part EFG = 1 / 7ème du gâteau..
On coupe suivant NG et il n'y a plus de difficulté pour couper chacun des 2 morceaux restant  en 3 parts convenablement égales.

Cordialement

ymagnyma

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Re : Le gateau d'anniversaire.

Bonjour, je ne doute pas que la solution proposée par Totomm convienne pour le partage, mais pour coulis, il va y avoir des jaloux, non ? Il y a des parts à bord(s) et des parts pas à bord(s). Les parts pas à bord(s), et, me semble-t-il, il y en a deux, auront moins de coulis.

Je vais bucher ça, ...

Dernière modification par ymagnyma (16-12-2012 17:19:01)

amatheur

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut
merci totomm, je me penche sur le reste!
a+

Dernière modification par amatheur (17-12-2012 00:38:22)

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jpp

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut.

▼un indice

Il me faut 9 points sur le gateau. Par contre , si une personne me trace un  point quelconque sur le gateau , alors, ce point sera sur un plan de coupe. Il y a donc une infinité de solutions.

nerosson

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Re : Le gateau d'anniversaire.

Salut à tous,

▼une idée en l'air et sans entrer dans les détails pénibles

On ne pourrait pas envisager une découpe de ce genre ?

Pour les cotes, bien entendu, dém...ez-vous

Dernière modification par nerosson (28-12-2012 18:51:10)

lonn

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut je propose que celui fait l'aniversaire laisse plutot les 6 partager...

jpp

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut.

comment couperiez-vous si le gateau était carré par exemple pour faire 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ... ou N parts avec un bout de ficelle de cuisine ?

la stratégie restant la même pour un gateau triangulaire , rectangulaire ou même parallèlogramme .

                                                                                                            à plus.

nerosson

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Re : Le gateau d'anniversaire.

Salut à tous,

Bon ! Je viens de lire plein de savantes digressions, qui m'ont paru ne rien résoudre, et maintenant voilà jpp qui se lance sur de nouvelles pistes, alors que visiblement on n'a pas épuisé la première.

Alors, moi, comme la tortue, je pars du début et je laisse les lièvres batifoler.

Ce gâteau est parallélépipédique, les coupes doivent obligatoirement être perpendiculaires au plan du dessus du gâteau, les sept portions doivent être égales et comporter une même quantité de coulis et chacune d'elles est d'une seule pièce.

Compte tenu de toutes ces conditions, pour que les parts aient le même volume, il faut et il suffit que les sept surfaces, sur le dessus du gâteau, soient égales. Ca, ça devrait pas poser de problèmes insurmontables et  "jusqu'ici, ça va" , comme disait le gars qui était en train de tomber du quinzième étage.

Là où ça coince, c'est pour le coulis. Comme je l'ai dit, les surfaces des parts sont nécessairement identiques, donc, la quantité de coulis sur le dessus est la même pour chaque part. Il faut donc que celle qui se trouve sur les flancs soit elle aussi également répartie.

Je note au passage que, maintenant, jpp veut que la découpe se fasse avec un fil à couper le beurre : ça permet de remarquer qu'aucune part ne doit comporter d' angle rentrant.

Alors, j'en reviens à ma figure du post 9, que tout le monde a traitée avec le plus complet mépris, ce qui m'a fait beaucoup de peine. Bien sûr, ça n'était qu'une ébauche de solution, puisque j'avais laissé aux kracks le soin de calculer les cotes, mais elle continue à me plaire et je vais essayer, sans grand espoir, de la compléter tout seul, puisque vous me laissez tous dans le caca !

A+

amatheur

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut
vénérable nerosson, votre analyse du problème est très correcte: c'est la bonne nouvelle, mais la mauvaise nouvelle c'est que le plan de répartition que tu as proposé ne permet pas de résoudre l'énigme!
PS: moi je suis vraiment à court d’idée, et j'arrive pas à progresser même après le coup de main de totomm! alors je te propose un deal pour vaincre le JPP: tu propose des plans de coupe et moi je vérifie s'il sont solution du problème :)
pour le plaisir de collaborer avec toi!
@+

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nerosson

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Re : Le gateau d'anniversaire.

Salut à tous,

@ mon vieux complice amatheur,

▼idées générales

Mon idée générale, c'est qu'on devrait pouvoir jouer :
a) sur la largeur du morceau central,
b) sur l'orientation des obliques,
pour arriver à ce que ces sacrés surfaces latérales du coulis soient égales;

Mais, d'ores et déjà, j'aperçois un os : pour une longueur donnée du gâteau, on n'a plus le choix de la largeur du morceau central : c'est nécessairement un septième de L. Mais on doit pouvoir faire varier à notre gré la longueur totale du périmètre en faisant varier la largeur. Il y a peut-être quelque chose à gratter de ce côté là.

D'autant qu'ensuite, il ne devrait pas y avoir de problème pour diviser par trois la longueur des trois faces "coulisées" des deux morceaux latéraux : ensuite, pour obtenir l'égalité des trois parts, on peut toujours jouer sur l'orientation des coupes obliques.

A toi de jouer.

amatheur

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Re : Le gateau d'anniversaire.

re.
cher nerosson, sais-tu que tu es un génie?!
voila, ton idée de faire varier la longueur du rectangle central m'a rappelé le début de la proposition de totomm, alors que lui a commencé en construisant un triangle avec une base d'une longueure donnée, toi tu propose un rectangle, les truc communs entre vos deux idées , c'est la position de ces deux polygone: au milieu + axe de symétrie qui pourrait coupé le gâteau en deux! et en creusant un peu, j'en suis venue à trouver une solution générale. en m'inspirant largement de la méthode de totomm.

▼Texte caché

 
on pose 7 points  au niveau du bord de la face supérieure du gâteaux, nommés successivement  [tex]{A}_{1}...{A}_{7}[/tex], de tel sorte que la distance "suivant le périmètre" entre deux point successifs = [tex]\frac{2}{7}\left(a+b\right)[/tex] .
les points  [tex]{A}_{i}[/tex]  seront l'intersections entre les plans de coupe et les bord du gâteau assurant d'emblée la même surface de coulis pour tous les morceaux.
de là, on commencera à construire des polygones sur la face supérieure en procédant de la manière suivante:
*on construit un polygone dont le seul bord externe est  le segment [tex]\left[{A}_{1}{A}_{2}\right][/tex] , il devra de préférence avoir un axe se symétrie afin de simplifier les calcules ultérieurs! la seul contrainte c'est que l'air de ce polygone doit être égale à ab/7.
*on retire le premier morceau.
*on tracera une ligne entre  [tex]{A}_{5}[/tex] et le bord de la coupe de manière à diviser le morceau restant en deux.
*on procède de la même manière sur les deux morceaux restant: d'abord un polygone de bord externe [tex]\left[{A}_{3}{A}_{4}\right][/tex]  [tex]\left[{A}_{6}{A}_{7}\right][/tex] (respec) d'aire=ab/7 chacun, puis coupé les deux morceaux qui restent en deux.
la facilité de la méthode, dépend largement de la simplicité des polygones tracés!

Dernière modification par amatheur (01-01-2013 21:31:37)

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jpp

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut.

@amatheur: 9 points . ok pour les 7 premiers points . il reste à trouver les 2 autres.

@nérosson: j'ai besoin d'une ficelle , pas d'une corde à piano à couper le beurre.

                                                                        bonne santé à tous.

jpp

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut.

un partage équitable :

il faut bien séparer les surfaces horizontales des surfaces de coulis verticales.  chacun doit recevoir [tex]\frac{a.b.c}{7}[/tex]

le périmètre du gateau est: [tex] p = 2.(a+b)[/tex]  mais on ne change pas la formule en formulant chacune des parts comme ceci:

                           [tex] \frac{a.b.c}{7}\times{\frac{2.(a+b)}{2.(a+b)}} = \frac{c}{2}\times{\frac{a.b}{a+b}}\times{\frac{2.(a+b)}{7}}[/tex]

                   [tex]\frac{a.b}{a+b}[/tex] est la hauteur de tous les triangles et les points  E & F sont les points d'intersection de 2 bissectrices d'angles opposés avec la diagonale AC. ainsi les points E & F sont équidistants de deux cotés adjacents du rectangle.

Dernière modification par jpp (08-01-2013 20:39:51)

totomm

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Re : Le gateau d'anniversaire.

Bonjour,

@jpp : Il y a bien plus d'une méthode pour couper ce gâteau suivant vos contraintes

La proposition esquissée post #5, contestée par ymagnyma post #6 puis acceptée par amatheur post #15
permet des parts coupées de façon bien plus sympathiques quand AB est petit devant BC...
Exemple, cette vue de dessus suivant méthode jpp :

On ne peut pas, évidemment, couper "N=7 parts avec un bout de ficelle de cuisine" sans partager une part en 2 morceaux...

Cordialement

Dernière modification par totomm (09-01-2013 13:28:44)

jpp

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Re : Le gateau d'anniversaire.

salut.

@totomm , la longue part rouge de ton gateau est réservée à nérosson , il aime les miettes.