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#1 06-12-2012 21:31:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Dans un triangle rectangle...

Bonsoir,

  Voici un petit problème de géométrie que je soumets à votre sagacité.
Soit ABC un triangle rectangle en C. Soit D le pied de la hauteur issue de C.
Soit E un point du segment [CD]. Soit F le point de [AE] tel que BF=BC.
De même, soit G le point de [BE] tel que AG=AC.
On considère finalement M le point d'intersection des droites (AG) et (BF).

Le but est de prouver que MF=MG.

geo1.png

Bonne recherche,
Fred.

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#2 07-12-2012 21:26:54

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonsoir

l'un des points de la figure n'est-il pas l'orthocentre d'un triangle?

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#3 07-12-2012 22:03:17

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Dans un triangle rectangle...

Oui, tu as raison...

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#4 08-12-2012 07:52:20

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Dans un triangle rectangle...

salut.

121208083458575020.png

une proposition

Lorsque le point E est en C alors les 3 points F , G & Q sont aussi en C  et la puissance du point Q par rapport aux cercles(C) & (C') est nulle . Et la droite (RC) se trouve être l'axe radical des 2 cercles . Le point Q étant sur cette droite , alors [tex]QC . QR = QF^2 = QG^2[/tex]

donc QF = QG  et les 2 triangles rectangles QFM & QGM ayant même hypothénus , sont égaux ---> MF = MG


                                                                                                                                               à plus.

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#5 10-12-2012 21:12:28

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonsoir,

Super bravo jpp

On peut ajouter, sans que cela soit demandé par Fred :
la droite (EM) passe par un point fixe I situé sur le segment [AB] et tel que [tex]\frac{AI}{BI}=\frac{AC}{BC}[/tex]
La droite (QM) est la tangente en M au lieu de M

Cordialement

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#6 14-12-2012 08:50:53

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonjour,

Oui, bravo jpp : je me suis laissé prendre par le belle figure de jpp, mais le raisonnement ne tient que si le point Q, intersection des tangentes en F et G est sur l'axe radical, ce qui n'est pas démontré !
Ce n'est vrai que parce que le triangle ABC est rectangle en C...

Cordialement

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#7 17-12-2012 15:03:03

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonjour,

jpp a montré sur la figure du post #4 les éléments intervenant dans la démonstration que MF = MG :
Le point d'intersection de la tangente en G au cercle de centre A et de rayon AG avec la tangente en F au cercle de centre B et de rayon BF est montré sur la droite (CD)

Une démonstration en est cependant nécessaire :

Soit C1 le cercle de centre A et de rayon AC
Soit C2 le cercle de centre B et de rayon BC
(CD) est la polaire de B par rapport au cercle C1 si et seulement si le triangle ACB est rectangle en C.
Supposons que l'angle ACB ne soit pas droit, alors le pôle de (CD) est un point B' différent de B sur la droite (AB) (car [CD] est perpendiculaire à [AB])

E étant choisi sur [CD], Soit Q le pôle de la droite (BE) par rapport au cercle C1, alors (QA) est perpendiculaire à (BE) et (QG) est la tangente en G au cercle C1
Par "polaires réciproques" E est le pôle de (QB') et donc la droite (AE) est perpendiculaire à (QB')

Amenons maintenant le point C sur le cercle de diamètre [AB] pour que le triangle ACB soit rectangle en C :
B' vient en B et (QB) est perpendiculaire à (AE) comme (QA) est perpendiculaire à (BE).
E étant à l'intersection de 2 hauteurs du tringle AQB, (ED) est la 3ème hauteur  et Q est sur (CD).
En intervertissant A et B dans le raisonnement ci-dessus, le point Q est tangent au cercle C2 en F
et [tex]QG^2 = QC\times{QR} = QF^2[/tex] tient comme dit par jpp.

Cordialement

Dernière modification par totomm (17-12-2012 15:04:38)

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#8 17-12-2012 21:07:32

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonsoir

le problème de JPP est qu'il n'a pas défini le point Q.

Voici ma proposition

1) J'appelle Q l'intersection de la tangente en F à C2 et de l'axe radical CD des cercles orthogonaux C1 et C2
2) Je démontre que E est l'orthocentre du triangle AQB en remarquant que la polaire de Q par rapport à C2 est AFE.
3) Je démontre que BGE est la polaire de Q par rapport à C1
4) j'en déduis que QG est tangente en G à C1.
5) Enfin QG=QF et GM=FM.

Je pourrais détailler, mais est-ce nécessaire?

J'ai bon?

Bien à vous

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#9 18-12-2012 13:55:27

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonjour,

#sotsirave : Bien sûr c'est bon dès que vous dites que E est orthocentre du triangle AQB par 2 hauteurs, donc ...
Vous auriez pu expliciter votre remarque du 2) en disant : La polaire de Q (sur CD) par rapport à C2 passe par A qui est le pôle de CD par rapport à C2 (théorème des polaires réciproques) et par F....

Cordialement

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#10 22-12-2012 16:36:46

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonsoir,

Fred a écrit :

Voici un petit problème de géométrie que je soumets à votre sagacité.
Soit ABC un triangle rectangle en C. Soit D le pied de la hauteur issue de C.
Soit E un point du segment [CD]. Soit F le point de [AE] tel que BF=BC.
De même, soit G le point de [BE] tel que AG=AC.
On considère finalement M le point d'intersection des droites (AG) et (BF).

C'est un très beau problème, En reprenant la figure de jpp au post #5

Sauriez-vous caractériser le lieu de M quand E varie sur [CD] ?
(C'est maintenant assez facile, sachant que MF=MG)

Sauriez-vous montrer que l'intersection de (FG) et de (AB) est un point fixe X sur (AB) quand E varie sur [CD] ?
(C'est plus difficile)

Cordialement

Dernière modification par totomm (23-12-2012 09:25:02)

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#11 16-03-2013 14:27:01

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : Dans un triangle rectangle...

Bonjour

Ensemble des points M, classique car lié à Aet B. Il faut de plus préciser exactement les bornes .

(FG) passe par un point fixe J revient à démontrer que l’intersection I de (EM) et de (AB) est fixe (quadrilatère complet) ou que (CI) est la bissectrice de l’angle droit ACB : pas évident.

A+

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