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#1 21-11-2012 13:48:21

totomm
Membre
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Distances égales

Bonjour,

Soit un triangle ABC. On se donne un point M sur la droite (AC) et on veut construire une droite passant par M qui coupe la droite (BC) en un point P et la droite (AB) en un point Q tels que PA=PQ. Il est demandé d'effectuer la construction "à la règle et au compas".

Ce problème de géométrie est très difficile. On peut commencer par une approche analytique

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#2 22-11-2012 11:39:38

jpp
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Re : Distances égales

salut.

@totomm  .  es tu sûr que P est sur (BC)   &  Q est sur (AB)  pour avoir PA = PQ  . parce que je vois mieux en permutant les points P & Q .

      Peux - tu amener un petit dessin pour mieux comprendre ?

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#3 22-11-2012 13:08:09

totomm
Membre
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Re : Distances égales

Bonjour

Pour exemple
mini_12112202063315517010581744.png

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#4 22-11-2012 16:21:57

jdec
Invité

Re : Distances égales

Bonsoir,

Facile !! :-))
Je choisis Q sur (AB), P est l'intersection de la médiatrice de [AQ] avec (BC)
puis M intersection de (PQ) avec (AC)

Mais cela ne donne qu'un exemple... :-((

#5 22-11-2012 19:02:02

jpp
Membre
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Messages : 971

Re : Distances égales

re.

121122080233353734.png.


si ça peut aider.

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#6 23-11-2012 09:36:13

totomm
Membre
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Re : Distances égales

Bonjour,

La réflexion dont jdec se réjouit au post #4 peut être exploitée, mais en laissant M choisi fixe....

La solution complète sera publiée ultérieurement : Une première approche fructueuse est certainement de déterminer le lieu de P quand Q parcourt (AB) en ne conservant que la contrainte PA=PQ

Qu'est-ce qui rend beau un problème de géométrie ?
Cordialement

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#7 27-11-2012 10:43:58

totomm
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Re : Distances égales

Bonjour,

Juste pour titiller un peu " l'Entraide (supérieur) " : Comment, à la règle et au compas, marquer l'intersection d'une droite et d'une hyperbole ?

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#8 29-11-2012 14:43:46

totomm
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Re : Distances égales

Bonjour,

totomm a écrit :

Comment, à la règle et au compas, marquer l'intersection d'une droite et d'une hyperbole ?

Il y a au moins 2 approches :
1) par les méthodes d'intersection Cône / Plan de la géométrie descriptive
2) Par Inversion car l'hyperbole est le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles fixes tangents extérieurement.

Cordialement

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#9 01-12-2012 15:09:23

jpp
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Re : Distances égales

salut.

en faisant évoluer le point    b sur la droite  (AB)  le point P décrirait une hyperbole .

Elle doit passer par les points A   &  M  son centre serait le point de coordonnées :[tex]\left[\frac{x_A+x_M}{2}\; , \frac{y_A+y_B}{2}\right][/tex]

mais je n'en suis pas si sûr

121201040131196777.png

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#10 01-12-2012 15:50:58

totomm
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Re : Distances égales

Bonsoir,

@ jpp : tout à fait exact. Reste donc à marquer l'intersection P de (BC) avec l'hyperbole (à la règle et au compas).
En caractérisant (géométriquement) l'hyperbole à partir des points A, B et M connus.

Ce n'est pas facile !  Cordialement.

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#11 04-12-2012 16:38:52

sotsirave
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Re : Distances égales

Bonjour

Avec le dessin de JPP , O milieu de [AM], [tex] \vec i[/tex] et [tex]\vec j[/tex] les directeurs normés  des droites  parallèle et perpendiculaire à (AB), x et y les coordonnées de P / O,i,j, M(a,1) , on obtient xy = a .

P appartient à l'hyperbole équilatère de demi-axe focal [tex]\sqrt{2a}[/tex] de directrice x= [tex]\sqrt a[/tex], de foyer F avec [tex]OF= 2\sqrt a[/tex]  etc. .

En remarquant que a est la distance de M à O,j , on peut donc construire les éléments de l'hyperbole et tracer P une intersection de la droite (BC) et de l'hyperbole .

Dernière modification par yoshi (04-12-2012 19:58:36)

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#12 05-12-2012 10:22:35

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Distances égales

Bonjour,

@ sotsirave : l'hyperbole étant bien caractérisée  (axe focal y=x avec les vecteurs[tex]\vec i\ et\ \vec j [/tex] que vous avez choisis)
comment tracer effectivement l'intersection de (BC)  avec l'hyperbole "à la règle et au compas", tout en s'interrogeant sans doute sur l'utilité actuelle de ces anciennes techniques (voir post #8) ?

@yoshi : merci de rendre bien lisible les textes proposés

Cordialement

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#13 14-12-2012 18:23:23

sotsirave
Membre
Inscription : 03-11-2012
Messages : 203

Re : Distances égales

Bonjour

Une directrice n'a pas comme équation x = racine carrée de a mais est située à la distance racine carrée de a du centre  O  de l'hyperbole.
Maintenant la construction de P est classique; soit en utilisant un cercle directeur , le symétrique d'un foyer par rapport à la droite BC et un faisceau de droites, soit en utilisant une directrice un foyer et une homothétie.

La construction quoique délicate ne pose pas de problème.

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#14 06-09-2013 23:29:57

apoi
Membre
Inscription : 08-08-2013
Messages : 122

Re : Distances égales

salut totomm,

j'ai tombé par hasard dans ce poste . la curiosité m'a poussé d’essayer avec l’exercice après j'ai lu la réponse de jpp dans post#9 et j'ai pas  compris . s'il vous plait expliquez-moi ce qu'il a fait , ça sera vraiment gentil et pardon pour le dérangement

Dernière modification par apoi (06-09-2013 23:30:38)

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