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#1 15-11-2012 20:47:08

totomm
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Le milieu des milieux

Bonjour,

Soit un triangle ABC, B' et C' les milieux des cotés AC et AB, H le pied de la hauteur issue de A. Montrer que les cercles circonscrits aux triangles BC'H, CB'H et AB'C' ont un point commun I et que HI coupe B'C' en son milieu.

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#2 18-11-2012 15:56:04

jpp
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Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Le milieu des milieux

Salut.

121118041758268383.png


je considère que le point   I   est uniquement l'interception des cercles C1  &  C3

Le quadrilatère BHIC' est inscrit dans le cercle C1  . En utilisant les propriétés liées aux angles inscrits interceptant des arcs sommant[tex]2\pi[/tex]  j'en conclus :
                                                                                                  [tex]\widehat{C'BH} = \pi - \widehat{C'IH}[/tex]  (1)

Le quadrilatère CB'IH est inscrit dans le cercle C2  . de la même façon je peux écrire:

                                                                                                  [tex]\widehat{HCB'} = \pi - \widehat{B'IH}[/tex]   (2)

je considère maintenant un point J intersection des cercles C2  &  C3 .

De la même manière je peux écrire: 

                                                                                                  [tex]\widehat{B'AC'} = \pi - \widehat{B'JC'}[/tex]  (3)

en sommant (1) , (2) & (3) :
                                                            [tex]\widehat{C'BH} + \widehat{HCB'} + \widehat{B'AC'} = 3\pi - \left[\widehat{C'IH}+\widehat{HIB'} + \widehat{C'JB'}\right][/tex]

[tex]\pi = 3\pi - \left[\widehat{C'IH}+\widehat{HIB'} + \widehat{C'JB'}\right][/tex]

[tex] \left[\widehat{C'IH}+\widehat{HIB'} + \widehat{C'JB'}\right] = 2\pi[/tex]

les points I  &  J sont donc confondus puisqu'ils appartiennent tous les 2 au cercles C2, et je pense avoir répondu à la première question. 

  je m'en vais cogiter sur la seconde question.

                                                                                           à plus.

Dernière modification par jpp (18-11-2012 16:00:05)

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#3 18-11-2012 19:10:10

totomm
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Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Le milieu des milieux

Bonsoir,

@jpp : Je ne crois pas que votre dernier argument prouve que I et J soient confondus, même tous deux sur C2

Pourtant vos (1) et (2) du début sont dans la bonne direction.
En remarquant alors que dans le triangle la somme des angles vaut [tex]\pi[/tex]il vient de suite que [tex]\widehat{C'IB'}=\pi-\widehat{C'AB'}[/tex],
Donc du fait des angles supplémentaires I est sur le cercle C3 circonscrit au triangle AB'C'.

Bonne suite...

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#4 21-11-2012 13:23:20

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Le milieu des milieux

Bonjour,

Solution complète en prenant la figure de jpp (post #2) comme référence :

Le rectangle AHB est rectangle en H et C' est le milieu de AB donc C'B=C'H et le triangle BC'H est isocèle..
B' est milieu de AC donc B'C' qui est parallèle à la base BH est tangent en C' au cercle C1 circonscrit au triangle BC'H
Considérant alors les 2 triangles MC'I et MHC' :
L'angle MC'I  est égal à l'angle MHC' puisqu'ils interceptent le même petit arc C'I du cercle C1 ; ces deux triangles ayant aussi le même angle en M sont donc semblables et :
[tex] \frac{MC'}{MH}=\frac{MI}{MC'} [/tex]
[tex] MC'^2=MI\times{MH} [/tex]
Le même raisonnement conduit à   [tex] MB'^2=MI\times{MH} [/tex] donc MB'=MC'

Cordialement

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