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Choukos

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Groupe abélien

Bonsoir,

Je bloque sur une question d'algèbre : si un groupe abélien possède N éléments d'ordre [tex]k>1[/tex] et [tex]N\geq k[/tex]. Est-ce que cela implique l'ordre minimal de mon groupe est la plus petite puissance de k supérieure à N ?

J'ai eu ce problème en devant répondre à cette question : "un groupe abélien a au moins 19 éléments d'ordre 2 et un élément d'ordre 11². Quel est le plus petit ordre possible du groupe ?"
Je crois comprendre que son ordre doit être un multiple de 11² et de 2 d'après le théorème de Lagrange mais comment être sur d'avoir 19 éléments d'ordre 2 ?

Merci d'avance pour votre aide et bonne soirée,
Choukos

Choukos

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Re : Groupe abélien

Bonsoir !
J'ai résolu mon problème, (en plein partiel ! C'est marrant j'ai eu cet exercice en partiel ... !). Rapidement :

Pour montrer que pour avoir 19 éléments d'ordre 2, on peut considérer le sous groupe H formé des éléments qui a la puissance 2 donnent 0. Ce sous groupe a pour ordre un multiple de 2 (Lagrange). On montre ensuite que le plus petit multiple de 2 assurant l'existence de 19 éléments d'ordre 2 est la plus petite puissance de 2 supérieure à 19, i.e [tex]2^5[/tex].

[tex]\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}} \times ... \times \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}[/tex] (5 fois) est d'ordre [tex]2^5[/tex] et possède 32 éléments d'ordre 2. ([tex]\frac{\mathbb{Z}}{2^5\mathbb{Z}}[/tex] ne convient pas).
On ne peut trouver un multiple de 2 supérieur à 19  et inférieur à [tex]2^5[/tex] qui convienne.

Notre groupe abélien initial est donc au minimum d'ordre [tex]3872=2^5\times 11^2[/tex].