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#1 23-10-2012 07:40:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Un peu de Géométrie japonaise (4) : un carré, 2 ellipses et 4 cercles

Bonjour,

Pour remplacer le n° 3, en voilà un autre....

12102309431816066.jpg

Géry Huvent a écrit :

Ce sangaku est daté de 1844, exposé dans la préfecture de Miyagi, la tablette n’existe plus [1], étant données deux ellipses isométriques et inscrites dans un carré de coté 2c comme indiqué sur la figure, on construit les quatre cercles osculateurs aux sommets principaux des ellipses. On suppose que ces cercles sont également tangents extérieurement à l’autre ellipse.
Si r est le rayon commun des cercles, montrer que

                                                [tex]c= r\sqrt{10}[/tex]
[1] Fukagawa H., Pedoe D., Japanese Temple Geometry Problems : San Gaku, Charles Babbage Research Centre. Winnipeg,
1989.

Géry Huvent a publié : « Sangaku. Le mystère des énigmes géométriques japonaises ». (Dunod, Novembre 2008).

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#2 28-10-2012 10:32:33

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Un peu de Géométrie japonaise (4) : un carré, 2 ellipses et 4 cercles

Bonjour,

Peut-être la démonstration n'est-elle pas donnée parce qu'elle figure dans le livre est qu'elle est trop simple ?

La théorie des coniques dit que le rayon de courbure à l'extrémité du grand axe est
[tex]r = \frac{b^2}{a}[/tex] (1)     a et b étant les longueurs des demi-axes

Prenant pour axe horizontal des abscisses la diagonale du carré, il faut ici : [tex]a=b+2r[/tex]  (2)
éliminant r entre (1) et (2) il vient : [tex] \frac{a}{b} = 2 \ soit \ a=4r [/tex]  (3)

Inscrire les ellipses dans un carré dont une diagonale est sur l'axe des abscisses revient à inscrire un cercle de rayon a dans un losange dont
la demi-diagonale sur l'axe des abscisses a pour longueur [tex] c\sqrt{2}[/tex] et
la demi-diagonale sur l'axe des ordonnées [tex] c\sqrt{2}\frac{a}{b} [/tex]

le coté du losange a alors pour longueur [tex] c\sqrt{10} [/tex]
l'aire d'un quadrant du losange donne : hauteur x hypoténuse = produit des 2 cotés de l'angle droit
soit [tex] ac\sqrt{10}=2c^2\frac{a}{b}=4c^2 \ \ soit\ \  r\sqrt{10} = c[/tex] d'après (3)

Cordialement

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#3 18-02-2015 09:28:11

quli420
Membre
Inscription : 18-02-2015
Messages : 1

Re : Un peu de Géométrie japonaise (4) : un carré, 2 ellipses et 4 cercles

e choisis Q sur (AB), P est l'intersection de la médiatrice de [AQ] avec (BC)
puis M intersection de (PQ) avec (AC).......................

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