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#1 22-10-2012 13:19:45
- yoshi
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Un peu de Géométrie japonaise (2)
Bonjour,
A partir du dessin suivant :
savez-vous montrer que [tex]AI\times BI = rc\sqrt 2[/tex] ?
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#2 23-10-2012 23:49:19
- totomm
- Membre
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- Messages : 1 093
Re : Un peu de Géométrie japonaise (2)
Bonsoir,
Si personne ne se décide, il faut bien un peu de courage... :
Soir a la longueur de BC et b la longueur AC
On admet connues les formules
[tex] r=\frac{ab}{a+b+c}\ \ (1)\ \ \ \ et\ \ r=\frac{a+b-c}{2}\ \ (2) [/tex]
IA² = (b-r)² + r² =b² - 2br + 2r² ; utilisant (2) on a :
IA²= b² -b(a+b-c) +[(a+b-c)²]/2
développant et simplifiant :
IA² = c²-ac = c(c-a) de même IB² = c(c-b)
IA².IB² =c²(c-a)(c-b) = c²( c² -ca -cb +ab)
on a : c² -ca -cb = -c(a+b-c) = -2cr d'après (2)
ab étant le double de l'aire on a : ab=r(a+b+c) ; c'est la formule (1)
on arrive à :
IA².IB² = c²[-2cr +r(a+b+c)] = c²r(a+b-c) ; à nouveau (a+b-c) = 2r d'après (2) donc
IA².IB² = 2c²r² C.Q.F.D.
On arrive de la même façon à une autre formule surprenante :
Si H est le point de contact du cercle de centre I avec [AB] : 2.HA.HB = ab, donc HA.HB est l'aire du rectangle
Cordialement
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#3 25-10-2012 20:37:45
- jpp
- Membre
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- Messages : 1 105
Re : Un peu de Géométrie japonaise (2)
salut.
une propriété du cercle inscrit dans un triangle rectangle en construisant les 3 bissectrices issues des angles [tex]\widehat{A} , \widehat{B} et \widehat{C}[/tex] donne :
[tex]r = \frac{a+b-c}{2}[/tex] avec c , l'hypothénus
on obtiens ainsi [tex]r^2 = \frac{(a+b-c)^2}{4} = \frac{a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc}{4}[/tex] , puisque [tex]a^2+b^2 = c^2[/tex] alors :
[tex]r^2 = \frac{2c^2+2ab-2ac-2bc}{4} = \frac12\times{(c^2+ab-ac-bc)} = \frac12.(c-a).(c-b)[/tex]. (1)
d'autre part , P , le point de tangence du cercle (C) avec BC & Q , le point de tangence du cercle (C) avec AC donnent 2 triangles rectangles BPI & AQI .
En appliquant Pythagore dans le triangle AQI , comme [tex]AQ = b-r[/tex] , alors [tex]AI^2 = AQ^2 + QI^2[/tex]
alors : [tex]AI^2 = r^2 + (b-r)^2[/tex] ; or [tex]b-r = b - \frac{a+b-c}{2} = \frac{b+(c-a)}{2}[/tex] en rappelant que [tex]r = \frac{b+a-c}{2} = \frac{b-(c-a)}{2}[/tex]
après simplification , [tex]AI^2 = \frac{2b^2 + 2.(c-a)^2}{4} = \frac12 . (b^2+c^2+a^2-2ac) = \frac12 . (2c^2 - 2ac) = c.(c-a)[/tex]
alors: [tex]AI^2 = c.(c-a)[/tex]
de la même façon on obtient [tex]BI^2 = c.(c-b)[/tex]
alors [tex]AI^2\times{BI^2} = c^2.(c-a).(c-b)[/tex] (2)
mais en rappelant que [tex]r^2 = \frac12.(c-a).(c-b)[/tex] (1) --> [tex]\frac{AI^2\times{BI^2}}{r^2} = 2c^2[/tex]
donc [tex]AI\times{BI} = r.c\sqrt2[/tex]
à plus.
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