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#26 25-09-2012 10:40:51

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

au poste#22 , c'est juste la construction de C" tangent au deux autres cercles en choisissant arbitrairement le point de fuite en haut à gauche sur la figure ; point à partir duquel je trace les 3 tangentes et les 3 cordes. afin de déterminer le centre de C"

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#27 25-09-2012 12:49:39

freddy
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut,

je n'ai pas inventé le sujet, mais trouvé sur la toile.
Le problème de la construction du troisième cercle n'est pas posé, on fait simplement mention de l'existence dudit cercle à partir de l'observation de la construction.

Cela étant, c'est bien que ça phosphore comme ça, et je mentionne que la construction de nerosson est correcte. Ce qui est très intéressant est de voir comment chacun lit le sujet et construit la figure ...


Memento Mori ! ...

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#28 25-09-2012 14:02:39

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

rebonjour,

@jpp : J'ai bien décortiqué l'image du post #22. J'appelle T le point d'où partent les tangentes à C, C' et C" et qui est situé sur la perpendiculaire en M à (MN).
Le cercle de centre T passant par M passe aussi par le point de contact A de C et C" et par A' point de contact de C' et C".
Dans ma construction utilisant l'inversion, A a pour conjugué le point Y intersection de (MA) avec (D) et A' a pour conjugué Y' intersection de (MA') avec (D'). Alors ce cercle de centre T passant par M est le conjugué de (YY') qui est une droite parallèle à (MN). On sait donc définir précisément T tel que C" soit tangent à (PS).


@freddy :La construction de nerosson est correcte, mais son raisonnement utilise le résultat qu'il faut démontrer.

nerosson a écrit :

Je trace le cercle C'', de centre R et tangent à C, à C' et à PS.

nerosson ne dit pas que C" est tangent à PS'. Ensuite

nerosson a écrit :

Tous les éléments de la figure étant symétriques par rapport à MN, je peux tracer un cercle C''', de centre R'  et tangent à C, à C' et à PS'.

nerosson ne dit pas que C''' est tangent à PS. Ensuite

nerosson a écrit :

On a : angle MPT = angle NPS' (angles opposés)  = angle PNS' (angles de base d' un triangle isocèle) = angle SPN (angles de base de deux triangles isocèles identiques).
Angle TPR = angle SPR (le centre d'un cercle se trouve sur la bissectrice de deux tangentes issues d'un même point).

Cette dernière affirmation revient à admettre que C" est tangent à PS' alors que c'est ce qui n'est pas admis au début et qu'il faut démontrer, la suite est donc caduque :

nerosson a écrit :

D'où il résulte que :
angle MPT + angle TPR = angle NPS + angle SPR, d'où angle MPR = angle NPR. La somme de ces deux angles formant un angle plat, chacun d'eux est un angle droit.
RP est donc bien perpendiculaire à MN.

Cordialement

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#29 25-09-2012 14:39:03

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

rebonjour encore

J'ai une démonstration valable parce que je sais construire géométriquement
le cercle C" tangent à C, C' et (PS), d'un coté de (MN) - non supposé initialement tangent à (PS')
un cercle C''' tangent C, C' et (PS) de l'autre coté de (MN) - et pas supposé initialement tangent à (PS').

et je sais démontrer, au cours de cette construction, que les éléments de construction de C" et C''' sont strictement symétriques par rapport à (MN), donc que C" et C''' sont symétriques par symétrie axiale (MN).
Cette symétrie démontrée de C" et C''' prouve alors géométriquement que C" est bien tangent à PS' puisque (PS') est symétrique de (PS), donc R est bien sur la bissectrice des droites (PS) et (PS').

Cordialement

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#30 26-09-2012 11:04:33

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

jpp post #22 a écrit :

le cercle des centre est en fait une ellipse et non un cercle.

MAIS BIEN SÛR, ET CELA PERMET DE CONSTRUIRE C" à la règle et au compas, plus facilement qu'avec l'inversion que j'ai proposée.

Supposons C" construit, T le point de contact de C et C", T' le point de contact de C'et C"
Appelons r le rayon de C, r' le rayon de C' et r" le rayon de c"
Soientt O le centre de C, O' le centre de C' et R le centre de C"
Soit J sur MN le pied de la médiatrice de PN


OR= r-r" et O'R = r'+r" donc  OR+O'R = r+r' = Constante :
R est sur E, ELLIPSE de foyers O et O' et de grand axe MJ
Soit J' sur MN le milieu de MJ, J' est le centre de E
Soit Z un point d'intersection des 2 cercles de diamètres MJ' et OO' : Le petit axe de E est égal à la longueur de MZ

MAINTENANT NOUS POUVONS CONSTRUIRE C"
Soit D la perpendiculaire à MN passant par P
Soit le cercle C1 de centre J' et de rayon MJ'
Soit le cercle C2 de centre J' et de rayon MZ
Soit X un point  d'intersection de D et C1
Soit Y l'intersection de [J'X] et C2. R est le projeté orthogonal de Y sur D

C" est le cercle de centre R et de rayon O'R - r'
Soit le cercle de diamètre PR, H et H' les intersections de ce cercle avec C" : PH est tangent  à C"

Reste à démontrer que PH passe par S !….. La voie est tracée….

Cordialement

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#31 26-09-2012 14:59:19

nerosson
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut à tous,

@Totomm,

Tu énumères avec complaisance toutes les choses que nérosson n'a pa faites. Je ne conteste rien du tout, mais je précise que je m'en suis tenu strictement au problème posé par Freddy: "démontrer que RP était perpendiculaire à MN. Point  barre. Ensuite il m'a demandé de montrer que P se trouvait sur RR'. Je lui ai charitablement donné en prime satisfaction sur ce point. Après quoi,  je m'en suis tenu là. C'est toi et JPP qui avez élargi le problème sur des terrains mouvants où je me suis bien gardé de vous suivre, sachant trop bien que j'allais m'y enliser.

Dernière modification par nerosson (26-09-2012 15:02:09)

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#32 26-09-2012 15:36:40

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Ami nerosson, je ne veux ni vous fâcher ni être complaisant...
Si vous pensez que je me suis étalé avec complaisance, non, je rétablissais simplement ce qui était une nouvelle fois tenu complaisamment pour bon.
Vous avez le droit d'en juger autrement

Je viens de donner 2 constructions qui sont réciproques l"une de l'autre :
Par Inversion en supposant que l'on ait des cercles tangents à C, C' et PS, alors 2 de ces cercles sont symétriques.
Par positionnement sur une ellipse pour que C" soit tangent à C et C'. Si PR est perpendiculaire à PS, alors une tangente à C" issue de P passe par S.
Je ne souhaitais autre chose que mener à terme cette réflexion sur le problème posé, et vous espère tout autant satisfait de vos propres réflexions.

Cordialement

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#33 26-09-2012 17:34:59

nerosson
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour, Totomm,

Mais je ne suis pas fâché le moins du monde.

Je voulais simplement préciser que je ne m'étais intéressé qu'au début de la discussion, qui me paraissait dans mes possibilités, mais que j'étais monté dans la voiture-balai au moment où les grimpeurs ont commencé à changer de braquet.

Cordialement.

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#34 26-09-2012 18:27:17

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

en fait , si le cercle C est centré en O (0,0)  , son rayon est R
              si le cercle C' est centré en O' :[tex](-\frac{R-r}{2} , 0)[/tex] , (C) & (C') étant tangents intérieurement , alors le lieu des centres M des cercles (C") est l'ellipse de demi grand axe [tex]\frac{R+r}{2}[/tex] et de demi petit axe[tex]\sqrt{r.R}[/tex] . Et les points M de l'ellipse ont pour coordonnées :

                                                    [tex]M: \left(-\frac{R-r}{2} + \frac{R+r}{2}.\cos{\phi} \; ,\; \sqrt{r.R}.\sin{\phi}\right)[/tex]

Dernière modification par jpp (26-09-2012 18:27:52)

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#35 27-09-2012 10:48:52

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

@jpp : L'ellipse est définie et construite géométriquement (post #30) ainsi que C".
Comment l'équation polaire du post #34 permet-elle de terminer la démonstration ?

@nerosson : C'est un beau problème pour ceux qui aiment la géométrie, mais il  faut effectivement un grand braquet pour le surmonter.

Cordialement.

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#36 28-09-2012 10:25:04

freddy
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut,

le braquet en question s'appelle inversion de pole P et de puissance k (voir là Inversion).

Pour la construction de la figure géométrique, tous les moyens sont bons, seule la fin est honorable.


Memento Mori ! ...

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#37 28-09-2012 15:20:39

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

@ freddy : Merci de confirmer la piste donnée  post #2 et la construction donnée post #21

Mais avez-vous la solution géométrique pour terminer la démonstration évoquée ?

Cordialement

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#38 30-09-2012 12:52:39

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

je me suis amusé à construire une chaine de 4 cercles tangents à deux cercles tangents intérieurement.

et on voit bien que la construction du premier cercle de rayon r1 (choisi arbitrairement) , détermine tous les autres cercles , en amont comme en aval.

pour le cercle de rayon r2   ,  [tex]tan\frac{\psi}{2} = t[/tex]  alors pour le cercle de rayon r3 , si on appelle l'angle inscrit [tex]\frac{\phi}{2} [/tex] ; la tangente [tex]u = \tan\frac{\phi}{2}[/tex] , associée à (c3)  se formule: [tex]u = t + \frac{R^2 - r^2}{\sqrt{r.R}} = t + c^{ste}[/tex]

ce qui signifie ces tangentes définissent une suite arithmétique de raison [tex]\frac{R^2 - r^2}{\sqrt{r.R}}[/tex].

par exemple , la construction des 3 cercles c2 , c3 & c4 a été effectuée à l'aide de l'incrément[tex]\frac{R^2 - r^2}{\sqrt{r.R}} = IJ = JK = KL[/tex]

Et dans le cas de mes 3 cercles nommé (pris dans le sens direct) (C)i --> rayon ri alors si la courbure

[tex]c = \frac{1}{r}[/tex]  alors  [tex]c_1 + 3c_3 = c_4 + 3c_2  \Longleftrightarrow  \frac{1}{r_1}+\frac{3}{r_3} = \frac{1}{r_4} + \frac{3}{r_2}[/tex]

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Dernière modification par jpp (30-09-2012 13:03:12)

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#39 03-10-2012 14:20:58

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Ne faut-il pas enfin donner cette solution !
On a vu la construction géométrique de C" et C''' tangents à C, C' et à la droite PS de 2 manières différentes !
Par inversion de pôle M, puis par intersection avec une ellipse de la perpendiculaire (D) à (MN) en P
On peut aussi remarquer que R, centre de C" est intersection de (D) avec les paraboles de foyer O (centre de C) et de directrices parallèles à (PS) à une distance de (PS) égale au rayon de C.
Mais la solution géométrique la plus simple :

Démonstration géométrique par inversion

Construisons R centre de C" et R' centre de C''' sur la droite (D) perpendiculaire au point P à (MN).
Et montrons que les éléments de cette construction sont symétriques par rapport à (MN).

Soit A' le point d'intersection, autre que P, de (PS) avec le cercle C'.
Soit (D1) la perpendiculaire à (MN) issue de A' et A le deuxième point d'intersection de (D1) avec C'.
L'inversion de pôle P et de puissance PA² transforme C' en (D1) et conserve (PS).
Les cercles tangents à C' et (PS) sont transformés en cercles tangents à (D1) et (PS) dont les centres sont sur les bissectrices (B1) intérieure à l'angle PA'A et (B2) extérieure à cet angle.
Edit : J'ai corrigé PAA' en PA'A car c'est bien A' le sommet de l'angle
L'intersection B de (B1 et (D) est le conjugué de R
L'intersection B' de (B2) et (D) est le conjugué de R'

Ils sont symétriques par rapport à P car :
Les 4 droites D1, B1, PS, B2 forment un faisceau harmonique, et comme (D1) est parallèle à (D), P est au milieu de [RR']. C.Q.F.D.

Construction de R à partir de B : Projeter orthogonalement B sur (D1) en E ; Soit F l'intersection autre que P du segment [PE] avec le cercle C' ; si O' est le centre de C', l'intersection de (O'F) avec (D) est le point R
Idem pour R' à partir de B'…

Cordialement

Edit : J'ai corrigé PAA' en PA'A car c'est bien A' le sommet de l'angle
Édit : "L'intersection B de (B1 et (D) est le conjugué de R" est un mauvais raccourci pour
"L'intersection B de (B1) et (D) est le centre du cercle conjugué du cercle de centre R"

Dernière modification par totomm (03-10-2012 15:32:04)

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#40 04-10-2012 18:59:46

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonsoir,

Pour résumer simplement la solution géométrique proposée :

freddy a écrit :

un sujet assez velu je dois dire !

On considère un cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] de centre [tex]O[/tex] et de diamètre [tex][MN][/tex]. Sur ce diamètre, on pose le point [tex]P[/tex]. On construit ensuite le point [tex]S[/tex] sur le cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] tel que le triangle [tex]PSN[/tex] soit isocèle de base [tex][PN][/tex].
On trace ensuite le cercle [tex]\mathcal{C'}[/tex] de centre [tex]O'[/tex] et de diamètre [tex][MP][/tex].
On construit enfin le cercle [tex]\mathcal{C"}[/tex] de centre [tex]R[/tex] tel que ce cercle tangente [tex]\mathcal{C}[/tex], [tex]\mathcal{C'}[/tex] et le coté [tex][PS][/tex].
On subodore que la droite [tex](PR)[/tex] est perpendiculaire à la droite [tex](MN)[/tex]. Démontrez que l'intuition est bonne.

Ne retenons provisoirement de la figure que le cercle C', la droite (D) perpendiculaire au point P à (MN) et une droite (PS) d'angle [tex]\theta[/tex] quelconque avec la droite (MP).

Il existe 2 cercles égaux C" et C''' centrés sur (D) et tangents à C' et (PS), symétriques par rapport à P : Voir démonstration précédente post #39

Si [tex]\theta[/tex] varie de 0° à 90°, le rayon de ces cercles C" et C''' varie de l'infini à 0 ainsi que la distance entre P et les centres de C" et C'''
Il y a donc une valeur intermédiaire de [tex]\theta[/tex] telle que C" et C''' soient  tangents aussi à C.   C.Q.F.D.
On peut démontrer, sans que ce soit demandé, qu'alors (PS) passe par l'intersection de C avec la médiatrice de [PN],

Cordialement

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#41 07-10-2012 09:40:59

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Aucune réaction après cette simple (?) et belle démonstration de géométrie pure ?
Même pour ceux qui préfèrent la géométrie à la trigo ?...

J'ai lu depuis que l'inversion et les faisceaux harmoniques ont été supprimés des programmes du lycée dans les années 1970, remplacés par "les mathématiques modernes"

Mais peut-être la description de la démonstration est-elle trop succincte s'il reste trop peu de la compréhension géométrique dans les esprits ?

Pour ceux qui voudraient approfondir, le livre de "Federigo ENRIQUES : Leçons de géométrie projective" est un grand classique...

Cordialement.

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