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#1 18-09-2012 16:44:41

freddy
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Le cercle des géomètres disparus ...

Hello tutti,

un sujet assez velu je dois dire !

On considère un cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] de centre [tex]O[/tex] et de diamètre [tex][MN][/tex]. Sur ce diamètre, on pose le point [tex]P[/tex]. On construit ensuite le point [tex]S[/tex] sur le cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] tel que le triangle [tex]PSN[/tex] soit isocèle de base [tex][PN][/tex].

On trace ensuite le cercle [tex]\mathcal{C'}[/tex] de centre [tex]O'[/tex] et de diamètre [tex][MP][/tex].

On construit enfin le cercle [tex]\mathcal{C"}[/tex] de centre [tex]R[/tex] tel que ce cercle tangente [tex]\mathcal{C}[/tex], [tex]\mathcal{C'}[/tex] et le coté [tex][PS][/tex].

On subodore que la droite [tex](PR)[/tex] est perpendiculaire à la droite [tex](MN)[/tex]. Démontrez que l'intuition est bonne.

Dernière modification par freddy (18-09-2012 16:45:37)


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#2 19-09-2012 10:11:28

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Joli problème

Une piste...

Plutôt que construire un cercle tangent à 2 cercles et une droite,
mieux vaut construire un cercle tangent à 2 droites parallèles et à un cercle...

Cordialement

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#3 19-09-2012 16:33:29

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonsoir,

Ensuite...

Il y a des cercles tangents et orthogonaux au même point de contact et d'intersection...

Cordialement

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#4 19-09-2012 17:33:43

nerosson
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut à tous,

Encore le petit morpion qui vient jouer dans la cour des grands.

D'abord je jure que je n'ai pas regardé les contributions de Totomm.


solution

sanstitre1zu.png

Voici ma tentative de solution :

Je trace le cercle C, son centre O, le diamètre MN et je place le point P.

Pour construire le triangle PNS je trace la médiatrice de PN qui coupe le cercle C en S et aussi en S'. Je construis les triangles PNS et PNS'. S'P se prolonge jusqu'en T, point où il coupe le cercle C. De même , SP se prolonge jusqu'en T', point où il coupe le cercle C. Ces deux triangles sont isocèles, identiques et symétriques par rapport au diamètre MN.

Je trace le cercle C' de diamètre MP et de centre O' dont les deux hémisphères sont eux aussi symétriques par rapport au diamètre MN.

Je trace le cercle C'', de centre R et tangent à C, à C' et à PS.

Tous les éléments de la figure étant symétriques par rapport à MN, je peux tracer un cercle C''', de centre R'  et tangent à C, à C' et à PS'.

On a : angle MPT = angle NPS' (angles opposés)  = angle PNS' (angles de base d' un triangle isocèle) = angle SPN (angles de base de deux triangles isocèles identiques).

Angle TPR = angle SPR (le centre d'un cercle se trouve sur la bissectrice de deux tangentes issues d'un même point).

D'où il résulte que :
angle MPT + angle TPR = angle NPS + angle SPR, d'où angle MPR = angle NPR. La somme de ces deux angles formant un angle plat, chacun d'eux est un angle droit.

RP est donc bien perpendiculaire à MN.

J'espère que je ne mme suis pas mélangé les pinceaux.

Dernière modification par nerosson (21-09-2012 15:41:29)

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#5 19-09-2012 20:59:58

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

c'est un sacré problème .

je me réfère au super dessin de nérosson : je pose  r = OM rayon du grand cercle .

                                                                      je pose aussi  a = O'M rayon du cercle C'

                                                                      et enfin : b = rayon du cercle C" à construire.

Les rayons r , a & b   sont définis de cette façon :

                                                                                              [tex]r = \frac{2a^2 + ab}{2a - b}[/tex]

comme r est le rayon du grand cercle C , alors :

                                                                                                 [tex]b = \frac{2ra - 2a^2}{r + a}[/tex]

b  maxi est atteint avec [tex]a = (\sqrt2 - 1 )\times{r} \approx 0.414\times{r}[/tex] , et vaut : [tex]b \approx 0.3431457\times{r}[/tex]

je n'ai pas encore trouvé de démo , puisque j'ai pris le problème à l'envers . mais je vais continuer à chercher.

                                                                                                                                                        à plus.

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#6 20-09-2012 13:55:01

freddy
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut,

trop fort le nerosson, trop fort.
Faudrait par contre que tu prouves que le point [tex]P[/tex] est bien sur la droite[tex] (RR')[/tex] .

Et merci à Yoshi d'avoir discrètement corrigé mes erreurs de notations !


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#7 20-09-2012 13:56:10

freddy
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

@jpp : une preuve sans calcul est mieux venue, stp !


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#8 20-09-2012 15:26:27

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Le cercle C" se construit géométriquement avec les notions du niveau Lycée (celles apprises y a 60 ans :-)), en utilisant règle et compas.
Il y a en fait 4 cercles possibles (et seulement 4) tangents à C, C' et à la droite (PS) si on accepte de prolonger le coté [PS] du coté opposé à S par rapport à P.
2 de ces cercles répondent à la question posée, mais pas le plus petit ni le plus grand.
Pour les 2 moyens : Démontrer géométriquement leur égalité donne une démonstration géométrique.

@jpp : Résultats OK. Les calculez-vous en supposant (PR) perpendiculaire à (MN) ou sans cette hypothèse ?

Cordialement

Dernière modification par totomm (21-09-2012 06:41:10)

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#9 20-09-2012 16:21:26

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

@totomm :  non , j'ai pris pour argent comptant la perpendicularité du segment , et j'ai juste étudié la variation des 2 petits cercles.

                 je pense que la démo , elle est comme le nez au milieu de la figure ... et on ne le voit pas.

                                                                                                                                          à plus.

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#10 20-09-2012 17:34:22

nerosson
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut à tous,

Freddy,

Je ne suis pas d'accord avec toi.

Je n'ai pas à démontrer que le point P se trouve sur la ligne RR' (bien que ce soit le cas). Tu demandes seulement de prouver que PR est perpendiculaire à MN : c'est la seule chose que tu demandes dans ton énoncé qui ne contient même pas la lettre R' !

C'est ce que j'ai fait en démontrant l'égalité des angles MPR et NPR.

D'autre part, je pense que les autres questions soulevées ci-dessus, qui d'ailleurs ne font pas partie de ton problème, se trouvent résolues par par la symétrie à laquelle j'ai largement fait appel.

En fait, dan la figure, le cercle C''' et son centre R' sont inutiles.Ce qui importe, c'est la symétrie (démontrée) des deux triangles isocèles PNS et PNS' .

Dernière modification par nerosson (20-09-2012 17:43:09)

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#11 21-09-2012 05:30:08

freddy
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut Nerosson,

au temps pour moi !

tu as raison, mon écran (13") est trop petit, je n'avais vu que la construction, et pas la raisonnement. Je pensais que tu nous la jouais façon "père Fourras" avec une devinette empreinte d'une gravité quasi mystique.

T'es le meilleur, bingo !

PS : du coup, je comprends mieux le coup de patte de grincheux. S'il avait connaissance de ton âge, il serait tout contrit, le petit.


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#12 21-09-2012 07:12:23

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

@freddy : Quelle est votre démonstration ?
@nerosson : Le point faible de votre démonstration est dans la construction du cercle C" : Si vous construisez un cercle centré sur la bissectrice de PS et PS' et tangent au cercle C, rien ne prouve qu'il sera aussi tangent au cercle C'.

La démonstration consiste à prouver qu'il existe un cercle C" tangent à C, C' et PS et UN AUTRE CERCLE C''', symétrique de C" par rapport à MN, et tangent lui aussi à C, C' et PS. Il ne faut pas introduire PS' comme tangente à C" A PRIORI.

Mais l'idée de la symétrie est la bonne
La construction de C" et C''' se fait en utilisant une inversion de pôle M et de puissance MP.MN et les cercles C" et C''' sont démontrés égaux par construction au cours même de cette construction (avec règle et compas). Détails si cela vous intéresse.

Cordialement

J'ajoute : Excellente publicité pour Géolabo de notre administrateur Fred

Dernière modification par totomm (21-09-2012 07:15:15)

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#13 23-09-2012 08:33:47

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Ami nerosson, votre age est connu,
et je souhaite garder la même lucidité que vous dans la décade qui nous sépare
Mais trop de complaisance dénie le vrai
Si coup de patte il y avait, c'était de velours, et pas de griffes désobligeantes

Ci-dessous une image des 4 cercles tangents à C (diamètre [MN]), à C' (diamètre [MP]) Et à la droite (PS0).
S est sur la médiatrice de [PN]
Les 4 cercles (construits à la règle et compas) ont pour centres R1, R2, R3 et R4. Quand S0 se déplace sur le cercle C dans le sens direct (trigonométrique), le rayon du cercle de centre R1 diminue et celui du cercle de centre R4 augmente : Quand SO passe sur S alors ces 2 rayons sont égaux et cela se montre lors de la construction des 4 cercles…
Cordialement. Cliquer sur l'image pour l'agrandir
mini_12092310392215517010350485.png

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#14 23-09-2012 08:45:29

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

comme éléments de construction pour tracer le troisième cercle , je pense qu'on a guère le choix.

la réponse est un peu basique, j'en conviens ;

si r est le rayon du grand cercle  C et a , le rayon du cercle  C' , le centre du cercle C" devrait se situer sur le cercle de centre [tex]M(-\frac{r-a}{2} \; , 0 )[/tex] , et de rayon : [tex]\frac{r+a}{2}[/tex]

et pour trouver un point de centre , on n'a guère le choix ; on trace la tangente verticale à C' qui coupe le cercle des centres de  C"possibles  ;  puis je trace le segment perpendiculaire au coté gauche du triangle isocèle , issue du centre de C"

et je trace au compas mon cercle. il se trouve tangent à C'  ,  C" & au triangle isocèle , mais ça , c'est une autre histoire .

et ce n'est pas manque d'avoir cherché .

                                                                                                                                   à plus.

120923102824243185.png

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#15 23-09-2012 12:43:16

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

re,

La perpendiculaire à la droite (PS) est primordiale dans la construction du cercle C"
Soit S' le point sur C symétrique de S par rapport à [MN] (symétrie axiale)
Si vous montrez que la perpendiculaire à PS' passe par S : Bingo

Cordialement

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#16 23-09-2012 13:07:46

yoshi
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

Je dois être particulièrement bouché, parce que je n'arrive pas à trouver de construction rationnelle du point R.
Je pense que si je l'avais, je trouverais la démonstration demandée...
Sur mon dessin joint, j'ai placé un point E sur [SP] et tracé la perpendiculaire passant par E à [SP].

Et R est l'intersection de cette perpendiculaire avec la tangente en P au cercle (C').
Je trace le cercle de rayon [RE], et je déplace E sur [SP] jusqu'à ce que j'aie un cercle répondant à l'exigence de tangence à (C) et (C')...
Mais, ce n'est que du pifomètre et l'utilisation de la réponse ce qui n'est pas admis...
Je voudrais bien avoir trouvé une construction exacte, hélas..

12092303190829121.jpg

Est-ce que quelque chose m'échappe ?

@+


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#17 23-09-2012 13:36:00

nerosson
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut à tous,

@Totomm,

Je suis bien d'accord : le coup de patte était de velours et je ne me suis pas formalisé le moins du monde.

Mais tu m'as collé tout de même un gros complexe, parce que d'instinct j'ai senti que tu devais avoir raison et qu'il devait exister un moyen rationnel de situer le centre R, mais je n'ai orienté mes recherches que dans le domaine de la géométrie. C'est le domaine mathématique qui à ma préférence, alors que j'ai toujours été allergique à la trigonométrie (que tu fais intervenir dans la question). Pour défendre cette manière de voir, je dirai que la géométrie, c'est le domaine où le raisonnement est roi, alors que dans les autres (trigo, algèbre) une solution fourmille de références à des données antérieurement acquises. Si ce que j'ai lu est vrai, Pascal avait commencé à réinventer la géométrie à l'âge de 10 ans.

Ainsi, lorsque j'ai essayé de fournir une solution au problème de notre ami Freddy (à qui j'aime tant donner des coups de patte), je n'ai nullement essayé de faire appel à des connaissances anciennes, mais à utiliser ma raison (ou ce qu'il en reste).

Quand tu as étendu le problème au raisonnement susceptible de situer le centre R, je n'ai pas du tout songé à sortir de la géométrie. Et encore maintenant j'ai le sentiment, purement intuitif, qu'il doit y avoir une solution de géométrie pure, et j'étais agacé de ne pas arriver à la trouver.

Quand j'ai construit la figure qui se trouve au poste 3, je suis bien entendu parti du fait que R devait se trouver sur la perpendiculaire en P à MN et que le point R se situait là ou  les deux "rayons de tangences à C' et à PS" (c'est mal dit, mais tu me comprends), dont l'un augmentait quand l'autre diminuait, seraient égaux. Mon empirisme n'était donc pas sans analogie avec ton raisonnement.

Post scriptum qui n'a rien à voir, comme dirait Delfeil de ton : l' allusion à ton âge m'a totalement pris au dépourvu : je te voyais comme un petit jeunot tout frais sorti de maths spé et avec encore du lait derrière les oreilles (un coup de patte qui, lui aussi est de velours).

Je ne vois qu'une divergence qui nous sépare, c'est le TU et le VOUS. Mais je pense qu'elle n'est pas conflictuelle et j'espère que tu es du même avis. J'ai eu maintes fois l'occasion de constater ton attachement à ton point de vue, et je pense que tu feras preuve de la même compréhension vis à vis du mien.

Amicalement.

Dernière modification par nerosson (23-09-2012 14:48:27)

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#18 23-09-2012 14:16:16

yoshi
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

jour,

Je viens de voir ce fameux "cercle des centres", donc je vais chercher maintenant pourquoi il passe par le milieu de la base du triangle isocèle.*
Je sens que j'ai 2 trains de retard...

Euh,... Assez satisfait, je relance Geolabo, je fais mon tracé, mon cercle des centres comme sur le dernier dessin de totomm... Hmmm, quelque chose me chiffonne, je zoome un maximum sur un écran 24 pouces 16/10 et là, horreur...
Voyez :
120923042643779280.jpg
La position du cercle des centres sur le dernier dessin de totomm doit donc être un cas particulier...

Retour à la case départ !

@+


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#19 23-09-2012 14:37:57

nerosson
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Salut à tous,

Neronisfilius Freddo suo salutem,

Dans un post précédent, tu m'avais demandé de prouver que le point P était bien sur la ligne RR', et j'avais rejeté cette demande en arguant du fait qu'elle sortait du problème, ce que tu avais reconnu de bonne grâce.

J'y reviens maintenant parce que ça ne me parait pas présenter de difficulté.

Dans ma première réponse, j'ai montré, à grand renfort d'angles égaux que les angles MPR et NPR étaient des angles droits.

Or, en employant un raisonnement semblable (je ne te fais pas de figure, tu comprendras), je démontre aussi aisément que les angles MPR' et NPR' sont aussi des angles droits, donc que l'angle RPR' est un angle plat et que RPR' est une droite.

Vale.


P.S. Un écran de 13 pouces !!! Pouah !!! Pouilladin !!! Avec ça, tu ne verrais que la figure de Kate Middleton !

Dernière modification par nerosson (23-09-2012 15:12:00)

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#20 23-09-2012 15:58:54

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

re.

mon cercle des centres , il faut l'oublier.

je suis retourné sur géolabo , puis ai redessiné . mon cercle C" je l'avais construit avec ( cercle circonscrit) en donnant 3 points.

et j'ai zoomé au centre et ai constaté que le centre de ce cercle n'était pas le point d'intersection du prétendu cercle des centres avec la  tangente verticale.  pour preuve , le zoom ci dessous :

j'obtiens ainsi 2 cercles décalés d'environ 0.3mm  ( mon grand cercle ayant un rayon de 100mm)

donc je dois revoir ma copie.
                                                                        à plus.


120923060923520269.png

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#21 23-09-2012 16:27:41

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonsoir,

Il y a bien une solution purement géométrique pour la construction de C" , et cette géométrie, nous la pratiquions au lycée il y a 60 ans !
C'est du genre  : Tracer le milieu d'un segment UNIQUEMENT avec un COMPAS
Ce pourquoi j'avais d'entrée la solution (voir post #2)

Si freddy veut bien confirmer :

Construction géométrique de C" de centre R

Il faut utiliser les propriétés de l'inversion qui est une transformation conforme (qui conserve les angles)
Avec l'inversion de pôle M et de puissance MP.MN :
Le cercle C est transformé en une droite (D) Perpendiculaire à MN en P
Le cercle C' est transformé en une droite (D') Perpendiculaire à MN en N
La droite (PS) est transformée en un cercle C1 : Si on abaisse la perpendiculaire (D") à (PS) passant par M, et si on appelle M' l'intersection de (D') et (D"),alors C1 est le cercle de diamètre [MM'] (qui passe par aussi par N)
Le cercle C" sera conjugué avec un cercle G tangent à (D), (D') et au cercle C1 puisque les angles entre les figures transformées sont ceux entre les figures initiales.

Voilà, le diamètre du cercle G conjugué de C" a pour longueur la distance PN, il n'est donc plus difficile de tracer G. mais il y a bien 4 cercles G1 à G4 qui correspondent aux contraintes si on ajoute et retranche la longueur PN/2 au rayon de C1….et 4 centres des cercles G sur la médiatrice de [PN]
Sachant que les points conjugués et les centres sont aligné avec le point M, il n'est plus difficile de tracer avec précision les 4 cercles tangents à C, C' et (PS)

Reste à prouver que 2 de ces cercles sont symétriques par rapport à MN (symétrie axiale)….

Cordialement

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#22 24-09-2012 16:58:11

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

salut.

le cercle des centre est en fait une ellipse et non un cercle.

on peut construire  un cercle tangent avec 3 cordes.

mais le problème, c'est de trouver le point de fuite idéal pour déterminer le bon rayon de C"
120924070944349495.png

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#23 24-09-2012 20:50:10

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonsoir,

En prenant les données de jpp au post #5, la courbe suivie par les centres R N'est pas une ellipse
Si M a pour coordonnées (0;0) et N (1;0) la courbe a pour équation : [tex]y=\frac{x\times\sqrt{2\times(1-x)}}{1+x}[/tex] pour x de 0 à 1
mini_12092410543515517010358115.png
Tangente oblique en M et verticale en N sur la courbe en gras.
Cordialement

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#24 24-09-2012 22:37:15

jpp
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

re.

@totomm.  postes #14 &  #22 , lorsque  C & C' sont constants , le lieu des centres des cercles C" est une ellipse . par contre , lorsque C' évolue , je n'ai pas poussé la recherche , ça ressemblerait , poste #23 à une lemniscate.

Dernière modification par jpp (24-09-2012 22:37:44)

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#25 25-09-2012 10:31:33

totomm
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Re : Le cercle des géomètres disparus ...

Bonjour,

jpp a écrit :

lorsque  C & C' sont constants , le lieu des centres des cercles C" est une ellipse

@jpp : Donc avec P fixé vous conservez sans doute aussi S sur la médiatrice de PN ?
Il s'agirait alors des 4 centres des 4 cercles que l'on peut construire tangents à C, C' et (PN) : Mais on peut toujours faire passer une ellipse par 4 points,
Je n'ai donc pas bien vu ce que vous proposez aux post #14 et #22....

Avez-vous essayé et accepté la construction que je propose au post #21 ?

@freddy : Quelle belle géométrie nous avez-vous proposé ! Merci

Cordialement

Edit : Je supprime "On peut même en faire passer 4 différemment en choisissant d'abord un cercle passant par 3 des 4 points..." qui m'a échappé dans un moment d'égarement géométrique non validé

Dernière modification par totomm (25-09-2012 11:51:32)

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