Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Le monde a changé.

Bonsoir à tous.

une petite question pour finir l'année. 

  Avant , on pouvait utiliser les symboles numériques du système décimal   1,2,3,4,5,6,7,8,9 quand on voulait écrire une formule.

Mais c'était avant.  En 2012 , ça va changer .

Si bien que j'en suis à me demander s'il n'existe pas une autre façon d'écrire pour formuler le second membre de cette égalité :

   [tex]\sum_{n=1}^\infty  \frac1{n^2}= 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + ...[/tex]

On doit pouvoir écrire la série  comme ceci:  (blabla mathématique utilisant une seule fois 0) + ( blabla mathématique utilisant une seule fois 0 ) + ....

A l'intérieur de chacune des parenthèses doit se trouver chacun des termes de la série , parfaitement formulé .

En rappelant qu'à l'intérieur des parenthèses  , 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ,  les 4 opérateurs + , - , / , x  ainsi que toute constante mathématiques comme [tex]\pi , e .. etc [/tex] sont interdits . les fonctions à utiliser sont enseignées dans le secondaire.

                                                                           Bon courage et bonnes fetes de fin d'année.

jpp

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Re : Le monde a changé.

salut.

    On doit pouvoir facilement formuler le premier terme de la série , lequel terme est récupéré comme antécédent pour formuler les termes suivants.

a) 1 s'obtient avec la fonction [tex]\mathfrak{h}(0)[/tex]

b)  puis , lorsqu'on arrive à un terme [tex]\frac{1}{\sqrt{k}}[/tex] , alors  [tex]\frac{1}{\sqrt{k}}\xrightarrow{\mathfrak{f}\; \;   o\; \;   \mathfrak{g}} \frac{1}{\sqrt{1+k}}[/tex]  , avec [tex]k \in  \mathbb{N_*^+}[/tex]

  ou[tex]\frac{1}{\sqrt{k}}[/tex] devient à son tour l'antécédent de [tex] \frac{1}{\sqrt{1+k}}[/tex]  par la fonction composée f o g .  puis on reprend le processus avec [tex]\frac{1}{\sqrt{1+k}}[/tex] comme nouvel antécédent de[tex] \frac{1}{\sqrt{1+(k+1)}}[/tex], image de [tex]\frac{1}{\sqrt{1+k}}[/tex]
par la fonction f o g

Ainsi chaque terme s'écrit: [tex]\frac{1}{n^2} =  \underbrace{f --  o -- g}_{(n^4-1)fois}- o -h(0)[/tex]

il reste à trouver les fonctions  f , g & h.

                                                                                        à plus.

IMED2

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Re : Le monde a changé.

f(x)=1/racine(1+x)
g(x)=1/x²

jpp

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Re : Le monde a changé.

salut.

@imed.  tu as pigé le truc , mais de cette façon tu es obligé d'utiliser les opérateurs qui sont interdits . ainsi que le
clavier numérique en dehors de zéro.

   mais il y a une autre façon de formuler et c'est cette dernière qu'il faut trouver.

en effet, si [tex] x = \frac{1}{\sqrt5}[/tex] avec g(x) , alors [tex]\frac{1}{x^2} = 5[/tex]

puis [tex]\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = \frac{1}{\sqrt6} [/tex] avec [tex]f\left[g(x)\right][/tex]

                                                                                              à plus.

Dernière modification par jpp (02-02-2012 20:46:58)

jpp

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Re : Le monde a changé.

salut.

pour écrire le premier terme de la série j'utilise 0 comme ceci:   [tex]1 = \cos0[/tex]

pour la suite:  [tex]\frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \tan^2x[/tex] ----> [tex]\sin^2x = \tan^2x \times{\cos^2x} = \tan^2x\times{(1 - \sin^2x)}[/tex]

donc [tex]\sin{x}= \frac{\tan{x}}{\sqrt{1 + \tan^2x}}[/tex]

en posant [tex]t = \tan{x}[/tex] , alors  [tex]x = \arctan{t}[/tex]

au début je sais que [tex]\tan{\frac\pi4}= \cos{0} = 1[/tex] alors [tex]\frac\pi4 = \arctan{\cos{0}}= \arctan{1} [/tex]

et [tex]\sin{\frac\pi4} = \sin {\arctan{\cos{0}}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2}[/tex]

on peut le vérifier  avec  [tex]\sin{x} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt2} --> x = 0.785398[/tex]

si je poursuis le processus , alors [tex]\sin{\arctan{sin{\arctan{\cos{0}}}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\sqrt{1 + {\left[\frac{1}{\sqrt2}\right]}^2}} = \frac{1}{\sqrt3}[/tex]

si je poursuis à nouveau le processus , alors [tex]\sin{\arctan{\sin{\arctan{\sin{\arctan{\cos{0}}}}}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt3}}{\sqrt{1 + {\left[\frac{1}{\sqrt3}\right]}^2}} = \frac{1}{\sqrt4}= \frac12[/tex]

Ainsi chaque terme s'écrit: [tex]\frac{1}{n^2} =  \underbrace{\sin{\arctan}}_{(n^4-1)fois}{\cos{0}}[/tex]

ainsi [tex]\frac{1}{4} =  \underbrace{\sin{\arctan}}_{15fois}{\cos{0}}[/tex]   et  [tex]\frac{1}{9}=\underbrace{\sin{\arctan}}_{80fois}{\cos{0}}[/tex]
[tex]\frac{1}{16} =  \underbrace{\sin{\arctan}}_{255fois}{\cos{0}}[/tex]   et  [tex]\frac{1}{25}=\underbrace{\sin{\arctan}}_{624fois}{\cos{0}}[/tex]

essayez avec une calculette sin tan^-1sin tan^-1sin tan^-1cos0 = 0.5  et 15 fois vous donnera 0.25

et pour terminer : [tex]\frac{\pi^2}{6} = \cos{0} + \sum_{n=2}^{\infty}  \underbrace{\sin{\arctan}}_{(n^4-1)fois}{\cos{0}}[/tex]

                                                                                           à plus.

Dernière modification par jpp (11-04-2012 12:38:39)