vecteurs pb

lili73 · 11-09-2006 13:22:27

ABD est un triangle rectangle isocèle en A, AB=AD=a. F est un point de [AD], E un point de [AB] distinct de A. Les droites (DE) et (BF) se coupent en un point C. M,N,O sont les milieux respectifs de [AC],[BD], et [EF].
Le but de cet exercice est de démontrer que M,N,O, sont alignés. Pour cela, on peut utiliser l'outil analytique. On chosit le repère (A;vecteur i; vecteur j) tel que vecteur AB = a multiplier par vecteur i. Et vecteur AD = a multiplier par vecteur j.

1)Quelles sont les coordonnées de A,B et D dans ce repère?

2)on note m l'abscisse de E et n l'ordonnée de F. Montrer que mn - a² différent de 0.

3) Trouver une équation cartésienne de chacune des droites (BF) et de (DE), puis déterminer les coordonnées de C.

4) Calculer alors les coordonnées des points M,N,O, et prouver qu'ils sont alignés.

yoshi · 11-09-2006 19:59:58

Bonjour,

Pfffff... Quel truc ch...t, mais intéressant ...!
Bon, j'ai commencé, je te livre le début de mes cogitations qui devraient (conditionnel) être exemptes d'erreur... Si qq veut prendre la suite, ce sera parfait parce que je n'ai plus le temps ce soir.

1. Puisque AB = AD = a, alors a>0.
Dans le repère (A, vect i, vect j), A est l'origine des coordonnées, d'où A(0 ; 0)
L'axe des abscisses est porté par la droite (AB), celui des ordonnées par la droite (AD).
Puisque vect AB = a. vect i, alors B(a ; 0)
Puisque vect AD = a.vect j, alors D(0 ; a)

2. E est sur [AD] et différent de A et son abscisse est m donc 0< m <= a
Je présume qu'il y avait un s à distinct, d'où 0 <n <= a
Je restreindrai l'une des deux doubles inégalités, puisque pour que le point C existe, E ne doit pas être en A ET F en D, en < a et non plus <= a
ce qui fait que le produit membre à membre donne mn < a² ou encore a² - mn > 0 (inégalité stricte) donc forcément a² - mn est différent de 0.
Là, désolé, je nai rien trouvé d'autre pour l'instant et ça ne me satisfait qu'à moitié.

3. Coordonnées de E : E(m ; 0)
Coordonnées de F : F(0 ; n)
Recherche des équations cartésiennes de (BF) et (DE)
Ma technique a été orthodoxe, mais je ne sais plus si elle est "au goût du jour"...

(BF)
Je calcule les coordonnées de vect BF, je prends un point L (par exemple) quelconque "baladeur" sur (BF), je note L(x ; y) et j'écris les coordonnées du vect. BL.
Enfin j'écris que vect BF et vect BL sont colinéaires.
Vect BF (-a ; n) Vect BL (x - a ; y)
Colinéarité : -ay - [n(x-a)] = 0, soit -ay -nx + na = 0 ou encore nx + ay - na = 0

(DE)
Vect DE (m ; -a). Je reprends le même point baladeur auxiliaire (on peut changer de nom aussi) Vect DL (x ; y - a)
Colinéarité : m(y - a) - [(-a)x)] = 0, soit my -ma +ax = 0 ou encore ax + my -ma = 0

Les cordonnées du point d'intersection s'obtiennent par résolution du système de deux équations à deux inconnues :
|nx+ ay - na = 0
|ax + my -ma = 0
Déterminant : mn - a² qui ne doit pas être nul pour que C existe --> voilà la raison du 2)
cordonnées x et y de C :
x = (ma² - amn)/(mn - a²)
y = (na² - amn)/(mn - a²)

4) Coordonnées de N milieu de [BD] : N (a/2 ; a/2)
Coordonnées de O milieu de [EF] : O(m/2 ; n/2)
Coordonnées de M milieu de [AC] : x = (ma² - amn)/(2mn - 2a²) ; y = (na² - amn)/(2mn - 2a²)
Après il faut caculer les coordonnées de deux vecteurs, par exemple MO et MN et prouver que vect MN = k. vect MO

La suite à plus tard...

yoshi · 12-09-2006 17:47:39

Bonjour,

Désolé ! J'avais raison d'être prudent hier soir... Fautes de signe !
Pour résoudre le système, j'écris :
n a -na n
a m -am a
Le déterminant du dénominateur est bien d = mn - a²
le numérateur pour x est le déterminant a -na soit -ma² + amn
m -am

Le déterminant du numérateur pour y est -na n soit amn - na²
-am a

Coordonnées de C x = (amn - ma²)/(mn-a²) et y = (amn -na²)/(mn - a²)

Donc changement aussi pour les coordonnées de M milieu de [AC] : x = (amn - ma²)/(2d) et y = (amn - na²)/(2d) avec d = mn - a²....

Bon, on s'accroche pour la fin du 4)...
Coordonnées du vecteur OM.
sur l'axe des abscisses : X = (amn - ma²)/2d - m/2 = [amn - ma² - m(mn - a²)] /(2d) = (amn - ma² - m²n + ma² )/(2d) = (amn - m²n)/(2d)
je factorise le numérateur pour que soit plus clair : x = [mn(a-m)]/(2d)

sur l'axe des ordonnées : Y = (amn - ma²)/2d - n/2 = [amn - ma² - n(mn - a²)] /(2d) = (amn - ma² - mn² + na² )/(2d) = (amn - mn²)/(2d)
je factorise le numérateur pour que soit plus clair : Y = [mn(a-n)]/(2d)

Coordonnées du vecteur NM.
sur l'axe des abscisses : X' = (amn - ma²)/2d - a/2 = [amn - ma² - a(mn - a²)] /(2d) = (amn - ma² - amn + a^3 )/(2d) = (a^3 - ma²)/(2d)
je factorise le numérateur pour que soit plus clair : x = [a²(a-m)]/(2d)

sur l'axe des ordonnées : Y' = (amn - na²)/2d - a/2 = [amn - na² - a(mn - a²)] /(2d) = (amn - na² - amn + a^3 )/(2d) = (a^3 - na²)/(2d)
je factorise le numérateur pour que soit plus clair : Y' = [a²(a-n)]/(2d)

Maintenant, je compare X/X' avec Y/Y
X/X' =(mn)/a² et Y/Y' = (mn)/a²... Je peux donc écrire vect OM = k.vect NM avec k = (mn)/a².
Les points O, M, N sont donc bien alignés....

Voilà, OUF c'est fini.

Une remarque au passage : ma fille vient de passer et réussir son Bac S, mais je parierais ma chemise (et bien davantage) qu'elle aurait été incapable de mener ces calculs au bout...
Pour avoir un peu transpiré, je ne suis pas trop étonné de voir que tu aies crié au secours... et je serais curieux de savoir, combien dans ta classe (si tu es bien Lycéenne) combien auront mené ce calcul à bout seuls...

Pour finir, il me revient qu'il y a une autre méthode de calcul de l'équation cartésienne d'une droite (mais qui revient au même) à partir de la technique du vecteur directeur de la dreoite... Ce doit être un peu plus court.

Voilà, ne pas hésiter pour toute demande de renseignement complémentaire, ou si tu détectes une anomalie apparente !

lili73 · 12-09-2006 20:33:21

salut Yoshi. merci pour ton aide.
félicitation pour ta fille...:)
je suis lycéenne et je crois que peu de gens dans ma classe ont trouvé la réponse.
Tu es apparement très fort en maths, tu doit être prof de maths ou un truc dans ce genre non???

lili73 · 12-09-2006 20:42:43

A un petit truc encore...
dans ton dernier msg tu répond bien aux questions 3) et 4)?
la 2) c'est que si mn - a² est différent à 0 alors C peut exister?

yoshi · 13-09-2006 08:14:56

Bonjour,

Dans mon dernier message, je reprends la fin du 3)---> coordonnées du point C (il y avait une faute de signe : personne n'est à l'abri)...
Dans mon dernier message, je rectifie les coordonnées de M milieu de [AC] fausses avant car coordonnées de C entachées d'une faute de signe. Et enfin je termine la question 4) en montrant que les points O, M, N sont alignés...

Si on a mn - a² = 0 cela signifie que m = n = a et donc que E est en B et F en D, dans ces conditions (BF), c'est (BD) et (DE) c'est aussi (BD). Et par conséquent l'intersection de (BF) et (DE) n'est autre que l'intersection de (BD) avec elle-même, soit (BD) tout entière et en aucun cas un point C unique.

A ce propos, félicitations, tu as trouvé une bien meilleure justification de mn - a² <>0 (différent). Je t'ai proposé une solution "bestialement calculatoire" comme on disait dans ma jeunesse, alors qu'il suffisait du petit couplet ci-dessus.

On retrouve d'ailleurs cette condition d'existence dans la présence de mn - a² dans les différents dénominateurs qui doivent donc être <> 0

Je suis dans un Collège, ce qui explique que, parfois, mes méthodes peuvent "dater" un peu...
Exemple : calcul de l'équation de la droite (BF) avec la méthode récente.
On prend le vect BF (-a ; n) comme vecteur directeur. -->. L'équation de la droite est donc nx + ay + c = 0 et on doit calculer c en "injectant" les coordonnées de B (par exemple) dans cette équation. --> na +c = 0, d'où c = -na.
Et donc l'équation cartésienne de la droite (BF) est bien nx + ay -an = 0

C'est cette méthode qu'il faut employer et pas ce que j'avais fait, sinon tu te "dénonces" tout de suite : il ne te faut pas t'éloigner de ton cours...

Voilà un complément d'information qui devrait t'apporter toute la lumière souhaitée...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 11-09-2006 13:22:27

vecteurs pb

#2 11-09-2006 19:59:58

Re : vecteurs pb

#3 12-09-2006 17:47:39

Re : vecteurs pb

#4 12-09-2006 20:33:21

Re : vecteurs pb

#5 12-09-2006 20:42:43

Re : vecteurs pb

#6 13-09-2006 08:14:56

Re : vecteurs pb

Pied de page des forums