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#1 20-04-2011 19:34:26

Choukos
Membre
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Messages : 148
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Une question en algèbre linéaire

Bonsoir !

J'ai une question sur laquelle je bute et j'aimerais si possible avoir un peu d'aide :
" Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E.

Donner un exemple où [tex]Im f \circ f[/tex] et [tex]\ker f \circ f[/tex] sont supplémentaires sans que [tex]Im f[/tex] et [tex]\ker f[/tex] le soient. "

Tout ce que je crois avoir réussi à faire c'est de ré-écrire l'énoncé... il faut trouver une application linéaire dont l'intersection entre le noyau et l'image soit non nulle mais lorsque l'on applique deux fois cette application, l'intersection devient nulle. (Le théorème du rang nous assure qu'on ait les bonnes dimensions). Désolé si cela vous semble évident... mais je bloque sincèrement dessus.

Merci d'avance pour votre aide !

Hors ligne

#2 20-04-2011 20:45:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une question en algèbre linéaire

Salut,

  Voici un exercice intéressant et qui sort de l'ordinaire!
Je vais t'expliquer comment j'ai fait pour trouver une solution.
Je me suis dit, je vais trouver l'exemple le plus facile possible où
[tex]Im f\circ c[/tex] et [tex]\ker f\circ f[/tex] sont supplémentaires.
Et le plus facile, c'est quand [tex]\ker f\circ f[/tex] est égal à tout l'espace.
J'ai donc considéré une application telle que [tex]f\circ f=0[/tex]
mais [tex]f\neq 0[/tex]. L'exemple le plus simple est dans [tex]\mathbb R^2[/tex] :

tu construis f par [tex]f(1,0)=(0,0)[/tex] et [tex]f(0,1)=(1,0)[/tex]

On a bien [tex]f\circ f=0[/tex], alors que [tex]\ker f=Im f=\textrm{vect}((1,0))[/tex]
et donc [tex]\ker f[/tex] et [tex]\textrm{Im}(f)[/tex] ne sont pas supplémentaires!

Fred.

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#3 20-04-2011 21:15:13

Choukos
Membre
Inscription : 26-12-2010
Messages : 148
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Re : Une question en algèbre linéaire

Merci beaucoup c'est limpide !

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