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SANDY

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Messages : 2

[Résolu] Démontrer par récurrence

Bonjour

J'essaie de démontrer par récurrence que I(n+1)=5*In-(1/n+1) sachant que In=intégrale de 0 à1 de (t^n)/(5-t)

L'initialisation marche avec n=1 je trouve a peu près 0.078 pour les deux mais je ne voit pas comment faire por prouver l'hérédité ?

john

Invité

Re : [Résolu] Démontrer par récurrence

Une méthode consiste à utiliser la formule :
1/(1-x) = 1 + x + x^2 +...
qui donne :
[x^n]/(1-x) = [1/(1-x) - 1 - x -x^2 .. -x^(n-1)]
En posant x=t/5 :
In = (5^n).Somme entre 0 et 1/5 de [x^n]/(1-x) = ...
ce qui devrait (sauf erreur) te mener tout droit à la formule de récurrence proposée.
Bye

soso

Invité

Re : [Résolu] Démontrer par récurrence

Ce n'est pas simple de te repondre sans un code latex mais j'essai et concentre-toi :

Si tu tiens à démontrer par recurrence

verifions pour n =0 c'est à dire si I(1)= 5I(0) - 1 (j'ai remplacé partout où il y a n par 0)

I(0)= integrale de 0 à 1 de (1\5-t)dt   (en prenant n=0 dans la formule de I(n), ne calcule pas la valeur numérique)
I(1)= integrale de 0 à 1 de (t\5-t)dt  (en prenant n=0 dans la formule de I(n), ne calcule pas la valeur numérique)

Apres écris t\(5-t)= -1 + 5\5-t  (par division euclidienne)
on a donc intégrale de 0 à 1  de  t\(5-t)= intégrale de 0 à 1  de -1 + 5\5-t
                                                        = - (intégrale de 0 à 1  de -1dt) +intégrale de 0 à 1  de 5\5-t dt
on a alors I(1)= 5I(0) - 1 la relation est vraie pour n=0
 

Supposons que I(n+1)=5In-(1/n+1) et montrons que I(n+2)=5I(n+1)-(1/n+2)  (j'ai remplacé partout où il y a n par n+1)
tu fait exactement ce que Sandy te dit mais en utlisant  I(n+1)=5In-(1/n+1), tu finalement que I(n+2)=5I(n+1)-(1/n+2).

Si tu t'en sors pas laisse un message, et explique ton point de blocage.