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#1 24-04-2006 18:44:22

Antoine
Membre
Inscription : 25-10-2005
Messages : 52

polynome de matrice

comment demontrer que pour toutes matrices M de dimension n il existe un polynome Q appartenant à R[X] tel que Q(M) = 0n
(où 0n est la matrice nulle)

Hors ligne

#2 26-04-2006 15:23:27

J2L2
Invité

Re : polynome de matrice

Tu considères l'application A de R[X] dans L(Rn) qui à un polynôme P(X) fait correspondre P(u), u étant l'endomorphisme de Rn dans Rn de matrice M.

L'espace de départ R[X] est de dimension infinie et l'espace d'arrivée est de dimension n^2, donc A n'est pas injective et a donc un noyau différent de {0} : il existe donc dans ce noyau un polynôme Q différent de 0 tel que Q(u) = 0, c'est à dire Q(M) = 0.

On vient de montrer l'existence de Q et on peut aussi exhiber un tel polynôme : grâce au théorème de Cayley-Hamilton, on sait que le polynôme caractéristique de u annule u.

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