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eliass

Invité

[Résolu] une limite

on prend d(n)  la fonction arithmetique qui designe le nombre de diviseurs positives de n
  demontrer que

   1-   lim1/n  (d(1)+d(2)+d(3)+....+d(n)) =+infini
   2-  qlq soit 1<r  lim 1/n^r (d(1)+d(2)+.....+d(n))=0
   
  merci

Michaël

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Re : [Résolu] une limite

La série de Riemann de terme général 1/n^r converge si r>1 et diverge si r=<1.

En remarquant que 1 a un seul diviseur dans N et que tous les autres entiers naturels en ont au moins 2 et en utilisant la série de Riemann on voit que la limite de 1- ne peut pas être minorée :
lim1/n (d(1)+...+d(n)) >= ... >= d(1)/n + 2lim somme (1/n); d(1)/n tend vers 0 quand n tend vers l'infini et la limite de la somme diverge puisque r=1, donc la limite cherchée est bien l'infini.

Pour 2- j'ai un doute : est-ce que la donnée est juste ? Ne serait-ce pas plutôt pour tout r>1 ?

Mickael (le bon, ^^)

Invité

Re : [Résolu] une limite

Comme mon homonyme n'a pas su le lire, c'est bel et bien pour r>1
Il faut étudier les nombres par encadrement avec des puissances de 2. En effet, on cherche à majorer la somme et 2 est le plus petit diviseur dans N qu'on peut trouver différent de 1. Si on prend un entier n, il existe m entier tel que 2^m=<n<2^(m+1) ce qui signifie que p ne peut avoir plus de m diviseurs.
Ceci étant dit, on peut ensuite majorer de façon efficace la somme. Pour tout n, la somme des diviseurs est inférieure à A=1+2*2^1+3*2^2+4*2^3+...+(m+1)*2^m avec m défini ci-dessus qui vaut en fait E(ln(n)/ln(2))
(m+1)*2^m=<(m+1)*n en simplifiant. Plus grossièrement encore, cette quantité est inférieure à n(ln(n))²
Encore plus grossièrement, A=< (m+1)*(m+1)*n  (en majorant chaque terme de la somme par le plus grand de la somme) et donc A<n(ln(n))^3
Par croissance comparée, on a le résultat voulu, puisqu'au voisinage de l'infini, pour tout a strictement positif, (a=r-1 est strictement positif) ... gnagnagna :D

Michaël

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Re : [Résolu] une limite

Je ne pense pas que 2^m=<n<2^(m+1) permette de conclure que n ne peut avoir plus de m diviseurs; car il existe des diviseurs impairs.
Dans N, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12; il y en a 6 dont 5 différents de 1 et pourtant 2^3=<12<2^4.

Mika

Invité

Re : [Résolu] une limite

autant pour moi.. je me repends, je me repends

eliass

Invité

Re : [Résolu] une limite

merci pour la solution de la 1 en ce ki concerne la 2me les données sont justes .  avant je vx corriger une faute  commis par"MIKA" il fallait  dire que 2^m<n si m le nombre de diviseurs premiers de n .
              en tt cas merci a vous tous!

eliass

Invité

Re : [Résolu] une limite

je cherche tjrs une solution a 2