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#1 15-04-2010 20:37:05

nabil10
Membre
Inscription : 14-04-2010
Messages : 46

calcul d'integrale par la methode des residus

Bonjour!
j'ai pas compris la méthode des résidus et je dois faire cette exercice prière de m'aider s'il vous plait

en utilisant la méthode des résidus, calculer l’intégrale suivante
I=∫_0^2pi (e^cosx) cos(sinx)cosnxdx    n Є N



merci!!

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#2 15-04-2010 21:05:33

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 8 954

Re : calcul d'integrale par la methode des residus

Re,

Je ne suis pas compétent pour répondre sur le fond, mais sur la forme, si.
Est-ce cela que tu veux :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{\cos x} \cos(\sin x) \cos nx\; dx \quad n \in \N\) ?

Si oui, alors voilà le code sans les balises :

\int_0^{2\pi} e^{\cos x} \cos(\sin x) \cos nx\; dx \quad n \in \N

\; pour forcer l'espacement avant dx
et \quad pour forcer un grand espacement...

@+


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#3 15-04-2010 21:20:34

nabil10
Membre
Inscription : 14-04-2010
Messages : 46

Re : calcul d'integrale par la methode des residus

oui c'est bien ça, merci yoshi

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#4 15-04-2010 21:37:57

nabil10
Membre
Inscription : 14-04-2010
Messages : 46

Re : calcul d'integrale par la methode des residus

Re Bonjour!!
c'est pour vous donner en langage clair l'intégrale a calculer par la méthode des résidus

\(\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{\cos x} \cos(\sin x) \cos nx\; dx \quad n \in \N\)

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#5 16-04-2010 08:29:00

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 88

Re : calcul d'integrale par la methode des residus

Bonjour,

Remplacons les bornes 0 et 2pi par -pi et pi, ce qui ne change rien (fonction périodique de période 2pi)
L'intégrale à calculer est nommée I
Soit J la même intégrale avec cos(nx) remplacé par sin(nx)
On remarque que J=0 car la fonction intégrée entre -pi et pi est impaire.
On peut donc écrire I = I+i.J ou I = I-i.J
Remplacer cos(sin(x)) par (exp(i.sin(x)+i.exp(-i.sin(x)))/2 dans I et J
En déduire que :
I = (1/2)Somme(exp(cos(x)+i.sin(x))(cos(nx)-i.sin(nx))dx pour x=-pi à x=+pi
ou :
I = (1/2)Somme[(exp(cos(x)+i.sin(x))/(cos(nx)+i.sin(nx))]dx pour x=-pi à x=+pi
Avec z=exp(ix) ;  dz = i.z.dx ; cos(nx)+i;sin(nx) = z^n
I = (-i/2)Somme [exp(z)/z^(n+1)]dz sur le cercle de centre (0,0) et de rayon =1.
Le pôle d'ordre n+1 donne le résidu 1/n!
I = 2pi.i.(-i/2)(1/n!) = pi/n!

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#6 18-04-2010 07:38:24

nabil10
Membre
Inscription : 14-04-2010
Messages : 46

Re : calcul d'integrale par la methode des residus

bonjour!


merci jj!!!

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